七年级上册 知识点汇总

(1) 单项式，系数为3，次数为2+1=3

(2) 多项式，共3项（$-5a^2$、$2a$、$-1$），次数为2（最高次项$-5a^2$的次数）

(3) 单项式，系数为$\dfrac{3}{4}$，次数为1+2=3

(4) 多项式，共2项（$x^2$、$y^2$），次数为2

💡 单项式的次数是所有字母指数之和；多项式的次数是次数最高项的次数。

答案不唯一，参考示例：

(1) $x^2 + 2x - 3$（二次三项式，常数项为-3 ✓）

(2) $2x^3 + 3$（三次二项式，系数之和为2+3=5 ✓）

💡 多项式的次数由最高次项决定，"几项式"由非零项的数量决定。

多项式是三次三项式，最高次项次数为3

观察各项：$(m-2)x^2$（二次）、$3x^{|m|}$、$-5$（常数项）

要使最高次为3，则 $|m| = 3$，即 $m = 3$ 或 $m = -3$

同时，多项式要有3项，所以 $m - 2 \neq 0$，即 $m \neq 2$

若 $m = 3$：$1 \cdot x^2 + 3x^3 - 5$，三次三项式 ✓

若 $m = -3$：$(-5)x^2 + 3x^3 - 5$，也是三次三项式 ✓

综上所述，$m = \pm 3$。

⚠️ 注意：$|m|$ 表示 $m$ 的绝对值，要同时考虑正负两种情况！

(1) $(3a - a) + (2b + 5b) = 2a + 7b$ → $2a + 7b$

(2) $(4x^2 - 2x^2) + (-3x + 5x) + (7 - 2) = 2x^2 + 2x + 5$ → $2x^2 + 2x + 5$

(3) $(2ab + 5ab) + (-3a^2b - a^2b) = 7ab - 4a^2b$ → $7ab - 4a^2b$

💡 合并同类项的口诀："系数相加变系数，字母指数都不动。"

分类找出同类项：

$3x^2y$ 和 $5x^2y$ 是同类项（字母都是$x^2y$）

$-2xy^2$ 和 $-3xy^2$ 是同类项（字母都是$xy^2$）

$2x^2y^2$ 没有同类项

合并：$(3x^2y + 5x^2y) + (-2xy^2 - 3xy^2) + 2x^2y^2$

= $8x^2y - 5xy^2 + 2x^2y^2$ → $8x^2y - 5xy^2 + 2x^2y^2$

⚠️ 注意：$x^2y$ 和 $xy^2$ 虽然字母相同，但指数不同，不是同类项！

(1) $3a + 2b + 5a - 3b = 8a - b$ → $8a - b$

(2) $4x - 3y - 2x - y = 2x - 4y$ → $2x - 4y$

(3) $-2a^2 + 3a - 1 + a^2 - 4a + 5 = -a^2 - a + 4$ → $-a^2 - a + 4$

⚠️ 括号前是"$-$"号时，去括号后每一项都要变号！

化简：

原式 = $3x^2 - [5x - 2x + 3 + 2x^2]$（先去小括号）

= $3x^2 - [3x + 3 + 2x^2]$

= $3x^2 - 3x - 3 - 2x^2$（去掉中括号，各项变号）

= $x^2 - 3x - 3$

当 $x = -2$ 时：

原式 = $(-2)^2 - 3 \times (-2) - 3 = 4 + 6 - 3 = 7$

💡 有多层括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

(1) $A - 2B = (2x^2 + 3xy - 2x - 1) - 2(-x^2 + xy - 1)$

= $2x^2 + 3xy - 2x - 1 + 2x^2 - 2xy + 2$

= $4x^2 + xy - 2x + 1$ → $4x^2 + xy - 2x + 1$

(2) $A - 2B = 4x^2 + xy - 2x + 1 = 4x^2 + (y - 2)x + 1$

与 $x$ 的取值无关，则 $x$ 的系数必须为0

$y - 2 = 0$，即 $y = 2$

此时 $A - 2B = 4x^2 + 1$，仍然与 $x$ 有关，实际上无法做到与 $x$ 完全无关。

若要求与 $x$ 无关，则 $x^2$ 项系数也为0 → 但已有 $4x^2$，所以不可能。

修正：若要求与 $x$ 的一次项取值无关，则 $y = 2$。 ✓

💡 "与某个字母无关"意味着该字母的所有项系数之和为0。

(1) $a^3 \cdot a^5 = a^{3+5} = a^8$ → $a^8$（同底数幂相乘，指数相加）

(2) $(x^2)^4 = x^{2 \times 4} = x^8$ → $x^8$（幂的乘方，指数相乘）

(3) $(-2xy^2)^3 = (-2)^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 = -8x^3y^6$ → $-8x^3y^6$（积的乘方，各因式分别乘方）

(4) $3a^2b \cdot (-2ab^3) = 3 \times (-2) \cdot a^{2+1} \cdot b^{1+3} = -6a^3b^4$ → $-6a^3b^4$

💡 注意区分三种幂运算：同底数幂乘法（加指数）、幂的乘方（乘指数）、积的乘方（分别乘）。

(1) $2x(x^2 - 3x + 1) = 2x \cdot x^2 - 2x \cdot 3x + 2x \cdot 1 = 2x^3 - 6x^2 + 2x$ → $2x^3 - 6x^2 + 2x$

(2) $(x + 2)(x - 5) = x \cdot x + x \cdot (-5) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$ → $x^2 - 3x - 10$

(3) $(2a + b)(a - 3b) = 2a \cdot a + 2a \cdot (-3b) + b \cdot a + b \cdot (-3b) = 2a^2 - 6ab + ab - 3b^2 = 2a^2 - 5ab - 3b^2$ → $2a^2 - 5ab - 3b^2$

💡 多项式乘多项式用"逐项相乘再相加"法则（类似乘法分配律）。

展开后找 $x^3$ 项和 $x^2$ 项：

$x^3$ 项：$x^2 \cdot (-3x) + ax \cdot x^2 = -3x^3 + ax^3 = (a - 3)x^3$

不含 $x^3$ 项，则 $a - 3 = 0$，即 $a = 3$

$x^2$ 项：$x^2 \cdot b + ax \cdot (-3x) + 8 \cdot x^2 = bx^2 - 3ax^2 + 8x^2 = (b - 3a + 8)x^2$

代入 $a = 3$：$b - 3 \times 3 + 8 = b - 9 + 8 = b - 1$

不含 $x^2$ 项，则 $b - 1 = 0$，即 $b = 1$

综上所述：$a = 3$，$b = 1$ ✓

💡 "不含某项"即该项系数为0，先找出该次项的来源，再令系数为0即可。

(1) $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$ → $x^2 - 9$（平方差公式）

(2) $(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$ → $4a^2 - 4a + 1$（完全平方公式）

(3) $(-3x + 2y)(-3x - 2y) = (-3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2$ → $9x^2 - 4y^2$（平方差公式）

💡 平方差公式的特征：两数和×两数差 = 两数平方差。注意识别 $-3x$ 相当于公式中的 $a$。

(1) $102 \times 98 = (100 + 2)(100 - 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$

(2) $201^2 = (200 + 1)^2 = 200^2 + 2 \times 200 \times 1 + 1^2 = 40000 + 400 + 1 = 40401$

(3) $(a + b + c)(a - b + c) = [(a + c) + b][(a + c) - b] = (a + c)^2 - b^2 = a^2 + 2ac + c^2 - b^2$ → $a^2 - b^2 + c^2 + 2ac$

💡 乘法公式可以灵活变形使用！第(3)题将 $a+c$ 看成一个整体。

(1) 利用完全平方公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2 \times 6 = 25 - 12 = 13$

(2) $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab = 13 - 12 = 1$

也可以直接用：$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 25 - 24 = 1$

💡 熟记两个变形公式：$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ 和 $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$。

(1) $a^7 \div a^3 = a^{7-3} = a^4$ → $a^4$

(2) $(-x)^5 \div (-x)^2 = (-x)^{5-2} = (-x)^3 = -x^3$ → $-x^3$

(3) $8a^3b^2 \div 2ab = (8 \div 2) \cdot a^{3-1} \cdot b^{2-1} = 4a^2b$ → $4a^2b$

(4) $(6x^3y - 4x^2y^2) \div 2x^2y = 6x^3y \div 2x^2y - 4x^2y^2 \div 2x^2y = 3x - 2y$ → $3x - 2y$

💡 多项式除以单项式 = 多项式的每一项分别除以单项式，再把商相加。

(1) $a^3 \div a^5 = a^{3-5} = a^{-2} = \dfrac{1}{a^2}$ → $\dfrac{1}{a^2}$

(2) $(x^2)^3 \div x^5 = x^6 \div x^5 = x^{6-5} = x$ → $x$

(3) $(2xy^2)^0 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 1 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$

💡 任何非零数的0次幂都等于1；$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$（$a \neq 0$）。

(1) $x^{2m+n} = x^{2m} \cdot x^n = (x^m)^2 \cdot x^n = 3^2 \times 2 = 9 \times 2 = 18$

(2) $x^{3m-2n} = x^{3m} \div x^{2n} = (x^m)^3 \div (x^n)^2 = 3^3 \div 2^2 = 27 \div 4 = $\dfrac{27}{4}$$

💡 幂运算中，乘法和除法可以转化为指数的加减，利用已知幂的值进行计算。

(1) ✓ 是因式分解（多项式→几个整式乘积的形式）

(2) ✗ 不是因式分解，$x(x+3)+2$ 仍是"和"的形式，不是乘积形式

(3) ✗ 不是因式分解，这是整式乘法（从左到右是展开，从右到左才是因式分解）

(4) ✓ 是因式分解（提取公因式 $2xy$）

💡 因式分解是把多项式化为整式乘积的形式，与整式乘法互为逆运算。

没有分解彻底！

$x(x^2 - 4)$ 中，$x^2 - 4$ 还可以用平方差公式继续分解：

$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$

所以正确结果是：$x^3 - 4x = x(x + 2)(x - 2)$

⚠️ 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止！

💡 分解策略：先提公因式，再看能否套公式。

(1) 公因式：$3ab$，$6a^2b - 9ab^2 = 3ab(2a - 3b)$ → $3ab(2a - 3b)$

(2) 公因式：$3x$，$3x^3 - 12x^2 + 6x = 3x(x^2 - 4x + 2)$ → $3x(x^2 - 4x + 2)$

(3) 公因式：$-2m$（首项为负，提负号更方便），$-2m^3 + 8m^2 - 4m = -2m(m^2 - 4m + 2)$ → $-2m(m^2 - 4m + 2)$

💡 提取公因式时：系数取最大公因数，字母取相同字母的最低次幂。

(1) $4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x + 3y)(2x - 3y)$ → $(2x + 3y)(2x - 3y)$（平方差公式）

(2) $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$ → $(x + 3)^2$（完全平方公式）

(3) $25a^2 - 20ab + 4b^2 = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 2b + (2b)^2 = (5a - 2b)^2$ → $(5a - 2b)^2$（完全平方公式）

💡 用公式法的关键是识别多项式的结构是否符合公式特征。

(1) $x^2 + 5x + 6$，找两个数乘积为$6$、和为$5$ → $2$和$3$

= $(x + 2)(x + 3)$ → $(x + 2)(x + 3)$（十字相乘法）

(2) $x^2 - 3x - 10$，找两个数乘积为$-10$、和为$-3$ → $-5$和$2$

= $(x - 5)(x + 2)$ → $(x - 5)(x + 2)$（十字相乘法）

(3) $2x^2 + 7x + 3$，$2x^2$拆为$2x$和$x$，常数$3$拆为$1$和$3$

交叉相乘：$2x \times 3 = 6x$，$x \times 1 = x$，$6x + x = 7x$ ✓

= $(2x + 1)(x + 3)$ → $(2x + 1)(x + 3)$

💡 十字相乘法：$x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)$，注意符号判断。

(1) 先提公因式：$3x^3 - 12x = 3x(x^2 - 4)$

再用平方差公式：$= 3x(x + 2)(x - 2)$ → $3x(x + 2)(x - 2)$

(2) 平方差公式：$a^4 - 16b^4 = (a^2)^2 - (4b^2)^2 = (a^2 + 4b^2)(a^2 - 4b^2)$

继续分解：$a^2 - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b)$

= $(a^2 + 4b^2)(a + 2b)(a - 2b)$ → $(a^2 + 4b^2)(a + 2b)(a - 2b)$

(3) 先提公因式 $x$：$x^3 - 2x^2y + xy^2 = x(x^2 - 2xy + y^2)$

再用完全平方公式：$= x(x - y)^2$ → $x(x - y)^2$

💡 分解因式基本策略：先提公因式，再看公式，最后考虑十字相乘或分组，务必分解彻底。

(1) 分母 $x - 2 \neq 0$，即 $x \neq 2$ → $x$取$x \neq 2$的全体实数

(2) 分母 $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \neq 0$，即 $x \neq -3$ 且 $x \neq 3$

→ $x$取$x \neq \pm 3$的全体实数

(3) 分母 $x^2 + 1 \geq 1 > 0$，恒不为0 → $x$取全体实数

💡 分式有意义的条件：分母不等于0。注意 $x^2+1>0$ 恒成立，永远不会为0。

(1) $\dfrac{6a^3b}{9a^2b^2} = \dfrac{2a}{3b}$（分子分母同除以 $3a^2b$）→ $\dfrac{2a}{3b}$

(2) $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} = \dfrac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 2)^2} = \dfrac{x + 2}{x - 2}$ → $\dfrac{x + 2}{x - 2}$（先因式分解，再约分）

(3) $\dfrac{m^2 - 3m}{m^2 - 9} = \dfrac{m(m - 3)}{(m + 3)(m - 3)} = \dfrac{m}{m + 3}$ → $\dfrac{m}{m + 3}$

⚠️ 约分前一定要先因式分解分子分母！不能直接约掉 $x^2$ 或 $m^2$！

各分母：$3x$、$2x^2$、$6x^2y$

最简公分母：系数取$2$、$3$、$6$的最小公倍数$6$，字母取$x^2$和$y$ → $6x^2y$

$\dfrac{2}{3x} = \dfrac{2 \cdot 2xy}{3x \cdot 2xy} = \dfrac{4xy}{6x^2y}$ → $\dfrac{4xy}{6x^2y}$

$\dfrac{x + 1}{2x^2} = \dfrac{(x + 1) \cdot 3y}{2x^2 \cdot 3y} = \dfrac{3y(x + 1)}{6x^2y}$ → $\dfrac{3y(x + 1)}{6x^2y}$

$\dfrac{1}{6x^2y}$ 不变 → $\dfrac{1}{6x^2y}$

💡 通分步骤：先确定最简公分母（系数取最小公倍数，字母取最高次幂），再让各分式乘以相应的因式。

(1) $\dfrac{3}{a} + \dfrac{2}{a} = \dfrac{5}{a}$ → $\dfrac{5}{a}$（同分母分式相加减，分母不变分子相加减）

(2) $\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{2x} = \dfrac{4}{2x} - \dfrac{3}{2x} = \dfrac{1}{2x}$ → $\dfrac{1}{2x}$（先通分，再加减）

(3) $\dfrac{4a}{3b} \cdot \dfrac{9b^2}{2a^2} = \dfrac{4a \times 9b^2}{3b \times 2a^2} = \dfrac{36ab^2}{6a^2b} = \dfrac{6b}{a}$ → $\dfrac{6b}{a}$（分式乘法：分子乘分子、分母乘分母，最后约分）

(1) $\dfrac{x + 1}{x - 1} - \dfrac{x - 1}{x + 1} = \dfrac{(x + 1)^2 - (x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)}$

= $\dfrac{(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{4x}{x^2 - 1}$ → $\dfrac{4x}{x^2 - 1}$

(2) $\dfrac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} \div \dfrac{a + 2}{a - 1} = \dfrac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 1)^2} \times \dfrac{a - 1}{a + 2}$

= $\dfrac{(a + 2)(a - 2)(a - 1)}{(a - 1)^2(a + 2)} = \dfrac{a - 2}{a - 1}$ → $\dfrac{a - 2}{a - 1}$

💡 分式运算中，先因式分解再约分是简化计算的关键！

先化简括号内：

$\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4} + \dfrac{2}{x + 2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} + \dfrac{2}{x + 2} = \dfrac{x}{x + 2} + \dfrac{2}{x + 2} = \dfrac{x + 2}{x + 2} = 1$

再计算除法：$1 \div \dfrac{x - 1}{x + 2} = 1 \times \dfrac{x + 2}{x - 1} = \dfrac{x + 2}{x - 1}$ → $\dfrac{x + 2}{x - 1}$

💡 分式混合运算遵循"先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号"的顺序。

(1) 去分母：两边同乘 $x(x+1)$ 得 $2(x+1) = 3x$

$2x + 2 = 3x$ → $x = 2$

检验：$x = 2$ 时，分母 $x=2$、$x+1=3$ 均不为0 ✓

所以 $x = 2$ 是原方程的解。

(2) 去分母：两边同乘 $x(x-1)$ 得 $3x - 2(x-1) = 0$

$3x - 2x + 2 = 0$ → $x = -2$

检验：$x = -2$ 时，分母 $x=-2$、$x-1=-3$ 均不为0 ✓

所以 $x = -2$ 是原方程的解。

⚠️ 解分式方程必须验根！将解代入最简公分母，看是否为0。

最简公分母为 $x(x-2)$，两边同乘：

$2x - 3(x - 2) = 1$

$2x - 3x + 6 = 1$

$-x = -5$

$x = 5$

检验：$x = 5$ 时，$x-2=3$、$x=5$，最简公分母 $x(x-2)=15 \neq 0$ ✓

所以 $x = 5$ 是原方程的解。

💡 去分母时，方程右边的 $1$ 也要乘以最简公分母，不能漏乘！

设乙每小时加工 $x$ 个，则甲每小时加工 $(x + 5)$ 个

甲单独做需要 $\dfrac{300}{x + 5}$ 小时，乙单独做需要 $\dfrac{300}{x}$ 小时

根据题意：$\dfrac{300}{x} - \dfrac{300}{x + 5} = 4$

两边同乘 $x(x + 5)$：$300(x + 5) - 300x = 4x(x + 5)$

$300x + 1500 - 300x = 4x^2 + 20x$

$1500 = 4x^2 + 20x$

$4x^2 + 20x - 1500 = 0$

$x^2 + 5x - 375 = 0$

$(x - 15)(x + 25) = 0$ → $x = 15$ 或 $x = -25$（舍去）

检验：$x = 15$ 时，$x(x+5) = 15 \times 20 = 300 \neq 0$ ✓

甲：$15 + 5 = 20$（个），乙：$15$（个）

答：甲每小时加工20个，乙每小时加工15个。

💡 列分式方程解应用题的关键：用分式表示工作效率，利用时间差列方程，最后别忘了验根。

A. 指针转动 → 旋转

B. 电梯升降 → 沿直线方向移动 → 平移 ✓

C. 风扇叶片转动 → 旋转

D. 方向盘运动 → 旋转

💡 平移是沿直线方向移动，不改变图形的形状、大小和方向。转动类的运动属于旋转。

(1) $A(2, 1)$ → $A'(5, 3)$

横坐标增加 $5-2=3$，纵坐标增加 $3-1=2$

所以平移方向为向右平移3个单位，向上平移2个单位

(2) $B(0, 2)$ 平移后：$B'(0+3, 2+2) = B'(3, 4)$ → $B'(3, 4)$

(3) 三条线段 $AA'$、$BB'$、$CC'$ 的关系：

💡 平移的性质：对应点所连的线段平行且相等。

A. 滑雪滑下 → 平移

B. 摩天轮转动 → 绕定点旋转 ✓

C. 推拉窗户 → 平移

D. 传送带上的货物 → 平移

💡 旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。

(1) 旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等

$OA' = OA = 3cm$

(2) 旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角

$\angle BOB' = \angle AOA' = 60^\circ$

(3) 旋转是全等变换，所以 $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$，即形状和大小完全相同

💡 旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置和方向。

A. 平行四边形 — 不是轴对称图形（特殊情况菱形、矩形是）

B. 等腰三角形 — 是轴对称图形，有1条对称轴 ✓

C. 正五边形 — 是轴对称图形，有5条对称轴 ✓

D. 直角梯形 — 不是轴对称图形

💡 判断轴对称图形的关键是：能否找到一条直线，使图形沿这条直线折叠后完全重合。

关于 $x$ 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数

$A_1(3, -2)$

关于 $y$ 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变

$A_2(-3, 2)$

$B(a, 3)$ 和 $B'(-2, b)$ 关于 $x$ 轴对称：

横坐标相同：$a = -2$

纵坐标相反：$b = -3$

所以 $a = -2$，$b = -3$

💡 轴对称的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分。

A. 等边三角形 — 旋转120°与自身重合，不是中心对称（需旋转180°）

B. 平行四边形 — 绕对角线交点旋转180°与自身重合 ✓

C. 等腰梯形 — 不是中心对称图形

D. 正五边形 — 旋转72°与自身重合，不是中心对称图形

中心对称图形绕某点旋转180°后与自身重合；轴对称图形沿某条直线折叠后重合。

⚠️ 注意区分：等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形！

(1) 中心对称的性质：对应点连线经过对称中心且被对称中心平分

所以 $O$ 是 $AA'$ 的中点：$O\left(\dfrac{2 + (-2)}{2}, \dfrac{1 + (-1)}{2}\right) = O(0, 0)$ → $O(0, 0)$

(2) 关于原点对称的点：横纵坐标均互为相反数

$B(a, b)$ 和 $B'(3, -2)$ 关于原点对称：

$a = -3$，$b = 2$

所以 $a = -3$，$b = 2$

💡 关于原点对称：$(x, y)$ → $(-x, -y)$；关于 $x$ 轴对称：$(x, y)$ → $(x, -y)$；关于 $y$ 轴对称：$(x, y)$ → $(-x, y)$。注意对比记忆！