📖 答案：

(1) ✗ 错误。经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆。如果三点共线，无法确定圆。

(2) ✓ 正确。外心是三条边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离都等于外接圆半径。

(3) ✗ 错误。内心一定在三角形内部，但外心不一定——锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。

(4) ✓ 正确。等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线就是对称轴，外心和内心都在对称轴上。

📖 答案：
求外接圆半径R：

在Rt△ABC中，斜边AB是外接圆的直径。

AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$（cm）

∴ R = AB ÷ 2 = 5（cm）

求内切圆半径r：

△ABC面积 = $\frac{1}{2}$ × 6 × 8 = 24（cm²）

设内切圆半径为r，则面积 = $\frac{1}{2}$r × (周长) = $\frac{1}{2}$r × (6 + 8 + 10) = 12r

12r = 24

r = 2（cm）

💡 直角三角形外接圆圆心在斜边中点；内切圆半径可用公式 r = (a + b − c) ÷ 2 快速计算：r = (6 + 8 − 10) ÷ 2 = 2 ✓

📖 答案：
求∠BOC：

外心O是三条边垂直平分线的交点。

由圆周角定理：圆心角∠BOC = 2 × 圆周角∠A

∴ ∠BOC = 2 × 80° = 160°

求∠BIC：

内心I是三条角平分线的交点。

∠BIC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A = 90° + 40° = 130°

💡 公式记忆：

外心：∠BOC = 2∠A（圆心角是圆周角的2倍）

内心：∠BIC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A

📖 答案：

OE = OF

理由：

在同圆中，等弦所对的弦心距相等。

由"四组量中知一推三"：AB = CD（弦相等），则它们所对的弦心距也相等。

∴ OE = OF

💡 关键：弦、弦心距、圆心角、弧四组量在同圆或等圆中知一推三。

📖 答案：

圆周一共360°，分成1:3两部分：

劣弧所对圆心角：360° × $\frac{1}{1+3}$ = 360° × $\frac{1}{4}$ = 90°

优弧所对圆心角：360° × $\frac{3}{4}$ = 270°

∴ 弦AB所对的圆心角为90°（取较小的那个），即弦AB所对劣弧的度数为90°。

⚠️ 注意：一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），通常指较小的那个圆心角。

📖 答案：

过O作OF⊥CD于F，则F是CD的中点，CF = FD。

∵ CE:ED = 1:2，设CE = x，ED = 2x，则CD = 3x，CF = 1.5x

在Rt△OEF中，∠OEF = 60°，OE = 2cm

由三角函数：OF = OE × sin60° = 2 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$（cm）

EF = OE × cos60° = 2 × $\frac{1}{2}$ = 1（cm）

且 CF = CE + EF = x + 1

又 CF = 1.5x

∴ x + 1 = 1.5x → 0.5x = 1 → x = 2（cm）

∴ CD = 3x = 6（cm）

验算：CF = 3cm，在Rt△COF中，OF = $\sqrt{3}$cm，CF = 3cm，

OC = $\sqrt{OF^2 + CF^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$（cm），即为半径长度。

📖 答案：

由垂径定理：OC⊥AB ⇒ C是AB的中点。

∴ AC = AB ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4（cm）

在Rt△OAC中，OA = 5cm，AC = 4cm

由勾股定理：OC = $\sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = $ 3（cm）

💡 垂径定理常与勾股定理结合使用，构造直角三角形。

📖 答案：

过圆心O作OC⊥AB于C，交圆于点D。

由垂径定理：C是AB中点，AC = 48 ÷ 2 = 24（cm）

在Rt△OAC中，OA = 25cm，AC = 24cm

OC = $\sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7$（cm）

最大深度为CD = OD − OC = 25 − 7 = 18（cm）

答：排水管中水的最大深度为18cm。

💡 弓形的高 = 半径 − 弦心距（水面低于圆心时）。

📖 答案：

过圆心O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N。

由垂径定理：AM = 3cm，CN = 4cm。

在Rt△OAM中，OM = $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$（cm）

在Rt△OCN中，ON = $\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$（cm）

情况一：两弦在圆心同侧

距离 = |OM − ON| = |4 − 3| = 1（cm）

情况二：两弦在圆心异侧

距离 = OM + ON = 4 + 3 = 7（cm）

答：两条平行弦之间的距离为1cm或7cm。

⚠️ 注意分类讨论！题目没有说明两弦在圆心的同侧还是异侧，需要分情况。

📖 答案：

(1) d = 5 > r = 4 → 相离（无公共点）

(2) d = 4 = r → 相切（有唯一公共点，即切点）

(3) d = 3 < r = 4 → 相交（有两个公共点，即直线是圆的割线）

(4) d = 0 < r = 4 → 相交（直线过圆心，是一条直径所在的直线）

💡 判断方法：比较d与r，d > r 相离，d = r 相切，d < r 相交。

📖 答案：
(1) 证明：

连接OD。

∵ OC ∥ AD，∴ ∠COD = ∠ODA，∠COB = ∠OAD

∵ OA = OD，∴ ∠ODA = ∠OAD

∴ ∠COD = ∠COB

又∵ OB = OD，OC = OC

∴ △COB ≌ △COD（SAS）

∴ ∠CDO = ∠CBO = 90°

∴ CD⊥OD，即DC是⊙O的切线。

(2) 解：

连接BD。由AD=2，AB=6，得BD = $\sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

由(1)知△COB≌△COD，∴ CD = CB

在Rt△ABC中，BC = $\sqrt{AC^2 - AB^2}$ ……（方法多样，略）

解得 CD = 4

💡 证切线的基本思路：连半径，证垂直。

📖 答案：
(1) 求半径：

连接OA、OB、OP。

由切线长定理：PA = PB，∠APO = ∠BPO = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°

在Rt△OAP中，PA = 6cm，∠APO = 30°

由锐角三角比：tan30° = $\frac{OA}{PA}$

OA = PA × tan30° = 6 × $\frac{\sqrt{3}}{3}$ = $2\sqrt{3}$（cm）

∴ 半径 r = $2\sqrt{3}$（cm）

(2) 求AB：

在Rt△OAP中，OP = $\frac{OA}{sin30°} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{3}$（cm）

∵ PA = PB，且OP平分∠APB

∴ OP垂直平分AB于C

在Rt△ACP中，AC = PA × sin30° = 6 × $\frac{1}{2}$ = 3（cm）

AB = 2 × AC = 6（cm）

💡 切线长定理 + 30°角直角三角形的边比关系是常见组合。

📖 答案：

大半径R = 5cm，小半径r = 3cm，R − r = 2cm，R + r = 8cm

(1) d = 1 < R − r = 2 → 内含（小圆在大圆内部）

(2) d = 2 = R − r → 内切（一个公共点）

(3) d = 4，R − r = 2 < d < R + r = 8 → 相交（两个公共点）

(4) d = 8 = R + r → 外切（一个公共点）

(5) d = 10 > R + r = 8 → 外离（无公共点）

💡 口决：外离d>R+r，外切d=R+r，相交R−r

📖 答案：

R = 5cm，r = 2cm，R − r = 3cm，R + r = 7cm

相交：R − r < d < R + r

∴ 3 < d < 7，即d的取值范围是 3cm < d < 7cm

相切：分为两种情况

外切：d = R + r = 7cm

内切：d = R − r = 3cm

∴ d = 3cm 或 d = 7cm

⚠️ 注意：相切要分内切和外切两种情况！

📖 答案：
(1) 证明：

连接O₁O₂，则O₁O₂经过切点P。

∵ O₁C ∥ O₂B，∴ ∠O₁CP = ∠O₂BP

又∠O₂BP = ∠O₂PB（O₂B = O₂P，等边对等角）

∠O₁PC与∠O₂PB是对顶角，即∠O₁PC = ∠O₂PB

∴ ∠O₁CP = ∠O₁PC，∴ O₁C = O₁P

∴ O₁C = O₁P = O₁A（同圆半径相等）

∴ C在以O₁A为直径的圆上？进一步可证O₁C⊥AO₁。

(2) 解：

O₁O₂外切，O₁O₂ = O₁A + O₂B = 3 + 2 = 5（cm）

由(1)可证得相应关系，计算出 CP = $\frac{6}{5}$（cm）

💡 两圆相切的常见辅助线：作公切线、连心线，利用切线性质。

📖 答案：

中心角 αₙ = 360° ÷ n

(1) 正三角形：α = 360° ÷ 3 = 120°

(2) 正方形：α = 360° ÷ 4 = 90°

(3) 正五边形：α = 360° ÷ 5 = 72°

(4) 正六边形：α = 360° ÷ 6 = 60°

(5) 正八边形：α = 360° ÷ 8 = 45°

(6) 正十二边形：α = 360° ÷ 12 = 30°

💡 正n边形的中心角 = 360° ÷ n，边数越多中心角越小。

📖 答案：
(1) 边长：

正六边形的中心角 = 60°，每条边所对的圆心角为60°。

半径与边组成的三角形是等边三角形。

∴ 边长 a = 外接圆半径 R = 4（cm）

(2) 边心距：

边心距为正六边形中心到边的距离。

rₙ = R × cos30° = 4 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $2\sqrt{3}$（cm）

∴ 边心距 = $2\sqrt{3}$（cm）

(3) 面积：

正六边形的面积 = 6个等边三角形的面积之和

一个等边三角形面积 = $\frac{1}{2}$ × 4 × $2\sqrt{3}$ = $4\sqrt{3}$（cm²）

S = 6 × $4\sqrt{3}$ = $24\sqrt{3}$（cm²）

💡 正六边形的边长 = 外接圆半径，这是正六边形的特殊性质。

📖 答案：

圆形铁皮直径6m，则半径R = 3m。

面积最大的正八边形即圆的内接正八边形。

正八边形的中心角 = 360° ÷ 8 = 45°

每条边所对的圆心角为45°，一半为22.5°。

边心距 r = R × cos22.5° = 3 × cos22.5°

边长的一半 $\frac{a}{2}$ = R × sin22.5° = 3 × sin22.5° ≈ 3 × 0.3827 = 1.1481（m）

a ≈ 2.2962（m）

正八边形的面积 = 8个等腰三角形面积之和

S = 8 × $\frac{1}{2}$ × a × r = 4 × a × r

r = 3 × cos22.5° ≈ 3 × 0.9239 = 2.7717（m）

S ≈ 4 × 2.2962 × 2.7717 ≈ 25.46（m²）

（也可用公式 S = $\frac{1}{2}$nR²sin$\frac{360°}{n}$ = $\frac{1}{2}$×8×9×sin45° = 36×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ≈ 25.46）

💡 圆内接正n边形的面积公式：S = $\frac{1}{2}$nR²sin$\frac{360°}{n}$

📖 答案：

总球数 = 3 + 2 = 5（个）

(1) P(红) = $\frac{3}{5}$ = 0.6（或60%）

(2) P(白) = $\frac{2}{5}$ = 0.4（或40%）

(3) P(红) + P(白) = $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$

💡 所有等可能事件的概率之和等于1。$P(A) = \frac{事件A包含的结果数}{所有等可能结果总数}$。

📖 答案：

用树状图法：

小明有3种出法：石头、剪刀、布

小红也有3种出法：石头、剪刀、布

总共有 3 × 3 = 9 种等可能结果。

(1) 两人出相同手势：

相同的情况有（石头,石头）、（剪刀,剪刀）、（布,布）共3种。

P(相同) = $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

(2) 小明获胜：

小明获胜的情况：石头→剪刀，剪刀→布，布→石头，共3种。

P(小明胜) = $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

💡 三步以上用树状图，两步用列表法更方便。

📖 答案：

用列表法（设两个白球为W₁、W₂，红球为R）：

第一次\\第二次	W₁	W₂	R
W₁	W₁W₁	W₁W₂	W₁R
W₂	W₂W₁	W₂W₂	W₂R
R	RW₁	RW₂	RR

(1) 两次都摸到白球：W₁W₁、W₁W₂、W₂W₁、W₂W₂，共4种。

P = $\frac{4}{9}$

(2) 两次颜色相同：白+白或红+红。

白+白：4种；红+红：RR，1种。

P = $\frac{4+1}{9} = \frac{5}{9}$

(3) 两次颜色不同 = 1 − P(颜色相同) = 1 − $\frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

💡 "有放回"每次试验结果数不变；"无放回"每次结果数减少1。注意区分！

📖 答案：
(1) 平均数：

$\bar{x} = \frac{85+92+78+90+88+95+82+88+90+92}{10}$

= $\frac{880}{10} = $ 88（分）

(2) 中位数：

排序：78, 82, 85, 88, 88, 90, 90, 92, 92, 95

共10个数（偶数个），中位数为第5、6个数的平均数：

中位数 = (88 + 90) ÷ 2 = 89（分）

(3) 众数：

88出现2次，90出现2次，92出现2次。

众数为 88分、90分、92分（多个众数）

💡 中位数要先排序；众数可以有多个。

📖 答案：
(1) 计算平均成绩：

$\bar{x}_甲 = \frac{7+8+9+8+8}{5} = \frac{40}{5} = 8$（环）

$\bar{x}_乙 = \frac{6+10+9+7+8}{5} = \frac{40}{5} = 8$（环）

计算方差：

$S^2_甲 = \frac{(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2}{5}$

= $\frac{1+0+1+0+0}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$

$S^2_乙 = \frac{(6-8)^2+(10-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2}{5}$

= $\frac{4+4+1+1+0}{5} = \frac{10}{5} = 2$

(2) 选择理由：

两人平均成绩相同（都是8环），但甲的方差（0.4）远小于乙的方差（2）。

说明甲的成绩更稳定，波动小。

我会选择甲运动员参赛。

💡 方差越小，数据越稳定。$S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

📖 答案：
从集中趋势看（平均分）：

平均分从72分 → 85分 → 91分，逐步提高。

宣传使平均分提高13分，培训又提高6分，说明宣传和培训都有效果。

从离散程度看（标准差）：

标准差从8.5 → 6.2 → 3.8，持续减小。

说明不仅整体水平提高，而且居民之间的差距也在缩小，整体更加均衡。

从及格率看：

及格率从65% → 88% → 96%，大幅提升。

培训后的及格率已达96%，说明绝大多数居民掌握了垃圾分类知识。

综合结论：宣传和培训对提高居民垃圾分类知识水平有显著效果，其中培训的效果更为突出。建议常态化开展垃圾分类培训活动。

💡 统计推断不能只看一个指标，要从多个维度综合分析。

📖 答案：
(1) 优秀频率：

优秀频率 = $\frac{12}{40} = 0.3$（或30%）

(2) 用频率估计概率：

估计优秀人数 = 600 × 0.3 = 180（人）

(3) 合格或以上的概率：

合格以上人数 = 优秀 + 良好 + 合格 = 12 + 16 + 10 = 38（人）

P = $\frac{38}{40} = \frac{19}{20} = 0.95$（或95%）

💡 频率 = 频数 ÷ 总数；大量重复试验时，频率稳定于概率。

📖 答案：

1~8的总结果数 = 8种等可能情况。

(1) 获得20元代金券（偶数字）：

偶数字：2, 4, 6, 8，共4个。

P(20元) = $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

(2) 获得50元代金券（3的倍数）：

3的倍数：3, 6，共2个。

P(50元) = $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

(3) 同时获得两种代金券（既是偶数又是3的倍数）：

同时满足：6，共1个。

P(两者) = $\frac{1}{8}$

(4) 判断：

获得20元的概率 $\frac{1}{2}$，获得50元的概率 $\frac{1}{4}$，同时获得的概率 $\frac{1}{8}$。

实际上，获得20元代金券的概率最大（$\frac{1}{2}$），不是同时获得的概率最大。

小华的说法错误。

💡 审题要仔细！概率的计算要明确事件包含的结果数。

📖 答案：
(1) 计算：

$(-2)^3 \times \sqrt{4} + (\frac{1}{2})^{-1} - |{-3}|$

= $(-8) \times 2 + 2 - 3$

= $-16 + 2 - 3$

= $-17$

(2) 解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$：

方法一（因式分解）：$(x - 2)(x - 3) = 0$

∴ $x_1 = 2$，$x_2 = 3$

方法二（公式法）：$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$

∴ $x_1 = 2$，$x_2 = 3$

(3) 解不等式组：

$2x - 1 > 3 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2$

$x + 2 \leq 5 \Rightarrow x \leq 3$

不等式组的解集为 $2 < x \leq 3$

💡 实数运算注意符号和运算顺序；解一元二次方程首选因式分解法。

📖 答案：
(1) 函数关系式：

售价为x元，降价比原价低了(60 − x)元。

月销售量 = 200 + 20(60 − x) = 200 + 1200 − 20x = 1400 − 20x（件）

单件利润 = (x − 40)元

月利润 y = (x − 40)(1400 − 20x)

y = (x − 40)(1400 − 20x)

y = 1400x − 20x² − 56000 + 800x

y = $-20x² + 2200x - 56000$（40 ≤ x ≤ 60）

(2) 最大利润：

这是一个开口向下的二次函数，在顶点处取最大值。

对称轴：$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2200}{2 \times (-20)} = \frac{2200}{40} = 55$

55在[40, 60]范围内。

$y_{max} = -20 \times 55² + 2200 \times 55 - 56000$

= $-20 \times 3025 + 121000 - 56000$

= $-60500 + 121000 - 56000$

= 4500（元）

答：售价定为55元时月利润最大，最大月利润为4500元。

💡 二次函数最值问题的关键是正确列出函数表达式，并注意自变量的取值范围。

📖 答案：
(1) 求$\frac{DE}{BC}$：

∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽ △ABC

AD:DB = 2:3，则AD:AB = 2:(2+3) = 2:5

∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}$

(2) 求梯形面积：

∵ △ADE ∽ △ABC，相似比为 $\frac{2}{5}$

$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}} = (\frac{2}{5})² = \frac{4}{25}$

$S_{△ADE} = 8$cm²，则 $S_{△ABC}} = 8 \times \frac{25}{4} = 50$（cm²）

梯形DECB的面积 = $S_{△ABC}} - S_{△ADE}$ = 50 − 8 = 42（cm²）

💡 相似三角形面积比 = 相似比的平方，注意不是边长比！

📖 答案：
(1) 证明：

∵ ∠C = 90°，DE⊥BC，DF⊥AC

∴ ∠DEC = 90°，∠DFC = 90°，∠ECF = 90°

∴ 四边形DECF是矩形（有三个直角的四边形是矩形）。

(2) 用x表示DF：

设DE = x，则CE = DF（矩形对边相等）。

∵ DE∥AC（都垂直于BC），∴ △BDE ∽ △BAC

$\frac{DE}{AC} = \frac{BE}{BC}$，即 $\frac{x}{6} = \frac{BE}{8}$，BE = $\frac{4}{3}x$

∴ EC = BC − BE = 8 − $\frac{4}{3}x$，即 DF = $8 - \frac{4}{3}x$（0 < x < 6）

(3) 面积最值：

矩形面积 S = DE × DF = $x(8 - \frac{4}{3}x) = -\frac{4}{3}x² + 8x$

这是一个开口向下的二次函数。

对称轴：$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \times (-\frac{4}{3})} = \frac{8}{\frac{8}{3}} = 3$

$S_{max} = 3 \times (8 - \frac{4}{3} \times 3) = 3 \times (8 - 4) = 3 \times 4 = 12$（cm²）

答：当x = 3时矩形DECF面积最大，最大面积为12cm²。

💡 几何最值问题常转化为二次函数最值，关键是用一个变量表示出目标量。

📖 答案：
(1) 频数分布表：
(2) 众数和中位数：

分数	频数（人）	频率
42	4	0.08
45	14	0.28
48	16	0.32
50	16	0.32
合计	50	1.00

共50人，中位数是第25、26个数据的平均数。

42分4人，45分14人（累计18人），48分16人（累计34人）。

第25、26人都在48分组内，中位数 = 48分。

(3) 估计优秀人数：

优秀（≥48分）人数 = 16 + 16 = 32（人）

样本优秀率 = $\frac{32}{50} = 0.64$

估计全校优秀人数 = 400 × 0.64 = 256（人）

💡 用样本估计总体时，假设样本具有代表性。

📖 答案：
(1) 抽到正数：

卡片：1, 2, −3，正数有1、2，共2个。

P(正数) = $\frac{2}{3}$

(2) 有放回，两次之和为负数：

所有等可能结果：3 × 3 = 9种。

（可列表法）和的情况如下：

1	2	−3
1+1=2	1+2=3	1+(−3)=−2
2+1=3	2+2=4	2+(−3)=−1
(−3)+1=−2	(−3)+2=−1	(−3)+(−3)=−6

P(和为负) = $\frac{5}{9}$

(3) 不放回，第一张正数且第二张负数：

不放回，第一张有3种可能，第二张有2种可能，共3×2=6种等可能结果。

第一张正数（1或2）且第二张负数（−3）的情况：

第一张=1，第二张=−3；第一张=2，第二张=−3，共2种。

P = $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

💡 注意"有放回"和"不放回"的区别：不放回时每次抽取的总数逐渐减少。