必修第二册 知识点概要

第6章 三角

6.1 正弦、余弦、正切、余切

  • 锐角三角函数定义：sin α = 对边/斜边，cos α = 邻边/斜边，tan α = 对边/邻边，cot α = 邻边/对边
  • 特殊角三角函数值：0°, 30°, 45°, 60°, 90°

    • 6.2 任意角的三角比

  • 任意角：正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角
  • 象限角：角的终边所在象限
  • 弧度制：180° = π rad，1 rad = 180°/π
  • 三角比推广：以单位圆上的坐标定义 sin α = y，cos α = x，tan α = y/x
  • 重要公式：
  • sin²α + cos²α = 1
  • 1 + tan²α = sec²α
  • 1 + cot²α = csc²α

    • 6.3 同角三角比的关系与诱导公式

  • 同角关系：tan α = sin α / cos α，cot α = cos α / sin α
  • 诱导公式（口诀："奇变偶不变，符号看象限"）：
  • sin(-α) = -sin α，cos(-α) = cos α
  • sin(π ± α) = ∓ sin α，cos(π ± α) = -cos α
  • sin(π/2 ± α) = cos α，cos(π/2 ± α) = ∓ sin α

    • 6.4 两角和与差的三角公式

  • 和差公式：
  • sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
  • cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
  • tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ)
  • 倍角公式：
  • sin 2α = 2 sinα cosα
  • cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
  • tan 2α = 2tanα / (1 - tan²α)
  • 降幂公式：
  • sin²α = (1 - cos 2α)/2
  • cos²α = (1 + cos 2α)/2

    • > 学习难度：⭐⭐⭐⭐ 公式多且关联复杂，诱导公式和和差公式是后续三角恒等变换的基础

    第7章 三角函数

    7.1 正弦函数的图像与性质

  • 函数：y = sin x
  • 图像：正弦曲线（波浪形），周期 T = 2π
  • 性质：定义域 ℝ，值域 [-1, 1]，奇函数，周期 2π
  • 五点作图法：(0, 0)，(π/2, 1)，(π, 0)，(3π/2, -1)，(2π, 0)

    • 7.2 余弦函数的图像与性质

  • 函数：y = cos x
  • 图像：余弦曲线，周期 T = 2π
  • 性质：定义域 ℝ，值域 [-1, 1]，偶函数，周期 2π
  • 五点作图法：(0, 1)，(π/2, 0)，(π, -1)，(3π/2, 0)，(2π, 1)

    • 7.3 正切函数的图像与性质

  • 函数：y = tan x
  • 图像：正切曲线（间断渐近线），周期 T = π
  • 性质：定义域 {x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ}，值域 ℝ，奇函数
  • 渐近线：x = π/2 + kπ

    • 7.4 三角函数的应用

  • 函数变换：y = A sin(ωx + φ) + k 中 A（振幅）、ω（角频率）、φ（初相）、k（平移）
  • 实际应用：简谐运动、潮汐、交流电等周期现象

    • > 学习难度：⭐⭐⭐ 重点理解三角函数的图像变换规律（平移、伸缩）和周期性

    第8章 平面向量

    8.1 向量的概念与线性运算

  • 向量定义：既有大小又有方向的量（有向线段）
  • 零向量 0、单位向量、相等向量、相反向量
  • 加法：三角形法则、平行四边形法则
  • 减法：a - b = a + (-b)，三角形法则
  • 数乘：λa（λ > 0 同向，λ < 0 反向）
  • 共线定理：a ∥ b ⇔ 存在唯一实数 λ 使 b = λa

    • 8.2 向量的数量积

  • 定义：a · b = |a||b|cos θ（θ 为夹角）
  • 性质：
  • a · a = |a|²
  • a · b = 0 ⇔ a ⟂ b
  • a · b = b · a（交换律）
  • 投影：|a|cos θ（a 在 b 方向上的投影）

    • 8.3 向量的坐标表示

  • 坐标运算：a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)
  • a ± b = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂)
  • λa = (λx₁, λy₁)
  • a · b = x₁x₂ + y₁y₂
  • 模长：|a| = √(x₁² + y₁²)
  • 夹角公式：cos θ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁²+y₁²) · √(x₂²+y₂²))
  • 平行与垂直条件：
  • a ∥ b ⇔ x₁y₂ = x₂y₁
  • a ⟂ b ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

    • > 学习难度：⭐⭐⭐ 向量是"数形结合"的重要工具，需理解几何意义与代数运算的对应关系

    第9章 复数

    9.1 复数的概念

  • 定义：z = a + bi（a, b ∈ ℝ，i² = -1）
  • 实部 a，虚部 b
  • 纯虚数：a = 0, b ≠ 0
  • 共轭复数：z̅ = a - bi
  • 复数相等：a + bi = c + di ⇔ a = c 且 b = d

    • 9.2 复数的运算

  • 加减法：(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
  • 乘法：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
  • 除法：(a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c - di) / (c² + d²)

    • 9.3 复数的几何意义

  • 复平面：x 轴为实轴，y 轴为虚轴
  • 复数与点的对应：z = a + bi ↔ (a, b)
  • 模：|z| = √(a² + b²)
  • 辐角：复数对应向量与实轴正方向的夹角
  • 复数加减的几何意义：对应向量的加减

    • > 学习难度：⭐⭐ 概念相对独立，运算规律清晰，注意理解复数的几何意义

    总评：必修第二册是三角和向量的入门，三角公式体系庞大但规律性强，向量为后续立体几何奠定基础。建议多做三角恒等变换练习，吃透向量运算法则。

    配套练习题

    第6章 三角 练习题

    练习1 — 正弦、余弦、正切、余切

    第1题 基础

    在 ${Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AB = 13$，$BC = 5$，求 $\sin A$，$\cos A$，$\tan A$ 的值。

    📖 答案：

    $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$

    $\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{5}{13}$，$\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{13}$，$\tan A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{5}{12}$

    第2题 进阶

    在 ${Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$\sin A = \dfrac{3}{5}$，$BC = 6$，求 $AB$ 和 $\tan B$ 的值。

    📖 答案：

    $\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{6}{AB} = \dfrac{3}{5}$，得 $AB = 10$

    $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$

    $\tan B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$

    练习2 — 任意角的三角比

    第1题 基础

    将下列角度化为弧度，弧度化为角度：

    (1) $30^\circ$　(2) $120^\circ$　(3) $\dfrac{\pi}{4}$　(4) $\dfrac{5\pi}{6}$

    📖 答案：

    (1) $30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$

    (2) $120^\circ = \dfrac{2\pi}{3}$

    (3) $\dfrac{\pi}{4} = 45^\circ$

    (4) $\dfrac{5\pi}{6} = 150^\circ$

    第2题 进阶

    已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(-3, 4)$，求 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$、$\tan \alpha$ 的值。

    📖 答案：

    $r = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

    $\sin \alpha = \dfrac{y}{r} = \dfrac{4}{5}$

    $\cos \alpha = \dfrac{x}{r} = -\dfrac{3}{5}$

    $\tan \alpha = \dfrac{y}{x} = -\dfrac{4}{3}$

    练习3 — 同角三角比的关系与诱导公式

    第1题 基础

    已知 $\sin \alpha = \dfrac{12}{13}$，且 $\alpha$ 为锐角，求 $\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$ 的值。

    📖 答案：

    由 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ 得：

    $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{12}{13}\right)^2 = 1 - \dfrac{144}{169} = \dfrac{25}{169}$

    $\alpha$ 为锐角，$\cos\alpha > 0$，$\cos\alpha = \dfrac{5}{13}$

    $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{12/13}{5/13} = \dfrac{12}{5}$

    第2题 进阶

    化简：$\dfrac{\sin(\pi - \alpha)\cos(-\alpha)}{\tan(\pi + \alpha)}$。

    📖 答案：

    由诱导公式：

    $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$

    $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$

    $\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

    原式 $= \dfrac{\sin\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha / \cos\alpha} = \sin\alpha \cdot \cos\alpha \cdot \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos^2\alpha$

    练习4 — 两角和与差的三角公式

    第1题 基础

    利用和差公式计算：

    (1) $\sin 75^\circ$　(2) $\cos 105^\circ$

    📖 答案：

    (1) $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin45^\circ\cos30^\circ + \cos45^\circ\sin30^\circ$

    $= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

    (2) $\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos60^\circ\cos45^\circ - \sin60^\circ\sin45^\circ$

    $= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

    第2题 进阶

    已知 $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$，且 $\alpha$ 为锐角，求 $\sin 2\alpha$ 和 $\cos 2\alpha$ 的值。

    📖 答案：

    $\alpha$ 为锐角，$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}$

    $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \times \dfrac{4}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{24}{25}$

    $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2 \times \dfrac{9}{25} - 1 = \dfrac{18}{25} - 1 = -\dfrac{7}{25}$

    第3题 挑战

    证明：$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos 2\alpha$。

    📖 答案：

    左边 $= (\cos^2\alpha)^2 - (\sin^2\alpha)^2 = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)$

    $= 1 \cdot (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha =$ 右边

    ​💡 第一步用平方差公式分解，再用 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ 和倍角公式。

    第7章 三角函数 练习题

    练习1 — 正弦函数的图像与性质

    第1题 基础

    用五点作图法作出 $y = \sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的简图，并写出它的定义域、值域、周期和奇偶性。

    📖 答案：

    五个关键点：$(0, 0)$，$\left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right)$，$(\pi, 0)$，$\left(\dfrac{3\pi}{2}, -1\right)$，$(2\pi, 0)$

    定义域：$\mathbb{R}$（全体实数）

    值域：$[-1, 1]$

    周期：$T = 2\pi$

    奇偶性：奇函数（$\sin(-x) = -\sin x$）

    第2题 进阶

    求函数 $y = 2\sin\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ 的周期、振幅、初相和最值。

    📖 答案：

    周期 $T = \dfrac{2\pi}{|\omega|} = \dfrac{2\pi}{3}$

    振幅 $A = 2$

    初相 $\varphi = -\dfrac{\pi}{4}$

    最大值 $= 2$，最小值 $= -2$

    练习2 — 余弦函数的图像与性质

    第1题 基础

    判断下列说法是否正确：

    (1) $y = \cos x$ 是奇函数。

    (2) $y = \cos x$ 在 $[0, \pi]$ 上单调递减。

    (3) $\cos x$ 的最大值为 $1$，最小值为 $-1$。

    📖 答案：

    (1) ❌ 错误。$\cos(-x) = \cos x$，$y = \cos x$ 是偶函数。

    (2) ✅ 正确。余弦函数在 $[0, \pi]$ 上从 $1$ 递减到 $-1$。

    (3) ✅ 正确。值域为 $[-1, 1]$。

    第2题 进阶

    求函数 $y = 3\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ 的对称轴方程。

    📖 答案：

    令 $2x + \dfrac{\pi}{3} = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）

    $2x = k\pi - \dfrac{\pi}{3}$

    $x = \dfrac{k\pi}{2} - \dfrac{\pi}{6}$（$k \in \mathbb{Z}$）

    对称轴方程为 $x = \dfrac{k\pi}{2} - \dfrac{\pi}{6}$，$k \in \mathbb{Z}$

    练习3 — 正切函数的图像与性质

    第1题 基础

    求函数 $y = \tan\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ 的定义域。

    📖 答案：

    令 $2x + \dfrac{\pi}{3} \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$

    $2x \neq \dfrac{\pi}{6} + k\pi$

    $x \neq \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2}$，$k \in \mathbb{Z}$

    定义域为 $\left\{x \mid x \neq \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}$

    第2题 进阶

    求函数 $y = \tan\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4}\right)$ 的周期和渐近线方程。

    📖 答案：

    周期 $T = \dfrac{\pi}{|\omega|} = \dfrac{\pi}{1/2} = 2\pi$

    令 $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

    $\dfrac{x}{2} = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi$

    $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$

    渐近线方程为 $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$

    练习4 — 三角函数的应用

    第1题 进阶

    已知函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的图像经过点 $(0, 2)$，且最高点纵坐标为 $4$，周期为 $\pi$，求该函数的解析式（$A > 0$，$\omega > 0$，$|\varphi| < \pi$）。

    📖 答案：

    最高点纵坐标为 $4$，$A = 4$

    周期 $T = \pi$，$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$

    代入 $(0, 2)$：$4\sin\varphi = 2$，$\sin\varphi = \dfrac{1}{2}$

    $|\varphi| < \pi$，$\varphi = \dfrac{\pi}{6}$ 或 $\varphi = \dfrac{5\pi}{6}$

    若 $\varphi = \dfrac{5\pi}{6}$，则图像平移后应为递减过零点，待定。

    取 $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$，解析式为 $y = 4\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$

    第2题 挑战

    某港口水深 $y$（米）与时间 $t$（小时，$0 \leq t \leq 24$）的关系可近似表示为 $y = 3\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) + 5$。求：

    (1) 港口水深的最大值和最小值；

    (2) 若船舶进出港要求水深不少于 $3.5$ 米，求该船在一天内可以停泊的总时长。

    📖 答案：

    (1) $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) \in [-1, 1]$

    $y_{\max} = 3 \times 1 + 5 = 8$（米），$y_{\min} = 3 \times (-1) + 5 = 2$（米）

    (2) 由 $y \geq 3.5$ 得：$3\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) + 5 \geq 3.5$

    $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) \geq -\dfrac{1}{2}$

    解得 $-\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \leq \dfrac{\pi}{6}t \leq \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$

    即 $-1 + 12k \leq t \leq 7 + 12k$，$k \in \mathbb{Z}$

    在 $[0, 24]$ 上：$[0, 7]$ 和 $[11, 19]$ 和 $[23, 24]$

    总时长 = $(7 - 0) + (19 - 11) + (24 - 23) = 7 + 8 + 1 = \textbf{16（小时）}$

    第8章 平面向量 练习题

    练习1 — 向量的概念与线性运算

    第1题 基础

    化简下列各式：

    (1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$

    (2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

    (3) $2(\vec{a} + \vec{b}) - 3(\vec{a} - \vec{b})$

    📖 答案：

    (1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$

    (2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}$

    (3) $2(\vec{a} + \vec{b}) - 3(\vec{a} - \vec{b}) = 2\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{a} + 3\vec{b} = -\vec{a} + 5\vec{b}$

    第2题 进阶

    设 $\vec{e}_1$，$\vec{e}_2$ 是两个不共线的向量，$\vec{a} = 2\vec{e}_1 - 3\vec{e}_2$，$\vec{b} = 4\vec{e}_1 + k\vec{e}_2$。若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，求实数 $k$ 的值。

    📖 答案：

    由 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，存在实数 $\lambda$ 使 $\vec{b} = \lambda\vec{a}$

    $4\vec{e}_1 + k\vec{e}_2 = \lambda(2\vec{e}_1 - 3\vec{e}_2) = 2\lambda\vec{e}_1 - 3\lambda\vec{e}_2$

    $\vec{e}_1$，$\vec{e}_2$ 不共线，所以：

    $\begin{cases} 4 = 2\lambda \\ k = -3\lambda \end{cases}$

    解得 $\lambda = 2$，$k = -6$

    练习2 — 向量的数量积

    第1题 基础

    已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta = 60^\circ$。求：

    (1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$　(2) $\vec{a} \cdot \vec{a}$　(3) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

    📖 答案：

    (1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ = 3 \times 4 \times \dfrac{1}{2} = 6$

    (2) $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 9$

    (3) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

    $= |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 9 - 16 = -7$

    第2题 进阶

    已知 $|\vec{a}| = 2$，$|\vec{b}| = 1$，且 $\vec{a} \perp \vec{b}$，求 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ 和 $|2\vec{a} + \vec{b}|$ 的值。

    📖 答案：

    $\vec{a} \perp \vec{b}$，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

    $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 0 = 4$

    $|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

    $= 4 \times 4 + 0 + 1 = 17$

    $|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{17}$

    练习3 — 向量的坐标表示

    第1题 基础

    已知向量 $\vec{a} = (3, -2)$，$\vec{b} = (-1, 4)$。求：

    (1) $\vec{a} + \vec{b}$　(2) $\vec{a} - \vec{b}$　(3) $2\vec{a} - 3\vec{b}$　(4) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

    📖 答案：

    (1) $\vec{a} + \vec{b} = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)$

    (2) $\vec{a} - \vec{b} = (3 - (-1), -2 - 4) = (4, -6)$

    (3) $2\vec{a} - 3\vec{b} = (6, -4) - (-3, 12) = (9, -16)$

    (4) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-1) + (-2) \times 4 = -3 - 8 = -11$

    第2题 进阶

    已知 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (-2, 1)$，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ 的余弦值，并判断它们是否垂直。

    📖 答案：

    $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

    $|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$

    $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times (-2) + 2 \times 1 = -2 + 2 = 0$

    $\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{0}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = 0$

    $\cos\theta = 0$，$\theta = 90^\circ$，$\vec{a} \perp \vec{b}$，两向量垂直。

    第3题 挑战

    已知 $\vec{a} = (2, 1)$，$\vec{b} = (1, 3)$，$\vec{c} = (3, 2)$。若存在实数 $x$，$y$ 使得 $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$，求 $x$，$y$ 的值。

    📖 答案：

    由 $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ 得：

    $(3, 2) = x(2, 1) + y(1, 3) = (2x + y, x + 3y)$

    可得方程组：

    $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ x + 3y = 2 \end{cases}$

    解：由第一式得 $y = 3 - 2x$，代入第二式：

    $x + 3(3 - 2x) = 2$

    $x + 9 - 6x = 2$

    $-5x = -7$

    $x = \dfrac{7}{5}$，$y = 3 - 2 \times \dfrac{7}{5} = 3 - \dfrac{14}{5} = \dfrac{1}{5}$

    第9章 复数 练习题

    练习1 — 复数的概念

    第1题 基础

    指出下列复数的实部和虚部，并判断哪些是实数、纯虚数：

    (1) $3 + 4i$　(2) $-2i$　(3) $5$　(4) $0$　(5) $1 - i$

    📖 答案：

    (1) $3 + 4i$：实部 $3$，虚部 $4$，既非实数也非纯虚数

    (2) $-2i$：实部 $0$，虚部 $-2$，纯虚数

    (3) $5$：实部 $5$，虚部 $0$，实数

    (4) $0$：实部 $0$，虚部 $0$，既是实数也是纯虚数（兼）

    (5) $1 - i$：实部 $1$，虚部 $-1$，既非实数也非纯虚数

    第2题 进阶

    已知复数 $z = (m^2 - 3m + 2) + (m^2 - 4)i$（$m \in \mathbb{R}$）。求 $m$ 为何值时：

    (1) $z$ 为实数；

    (2) $z$ 为纯虚数；

    (3) $z$ 在复平面内对应的点在第四象限。

    📖 答案：

    (1) 当虚部 $m^2 - 4 = 0$ 时，$z$ 为实数

    $m^2 = 4$，$m = \pm 2$

    (2) 当实部 $m^2 - 3m + 2 = 0$ 且虚部 $m^2 - 4 \neq 0$ 时，$z$ 为纯虚数

    $m^2 - 3m + 2 = (m - 1)(m - 2) = 0$，$m = 1$ 或 $m = 2$

    当 $m = 2$ 时虚部为 $0$（实数），舍去

    $m = 1$

    (3) 第四象限：实部 $> 0$，虚部 $< 0$

    $\begin{cases} m^2 - 3m + 2 > 0 \\ m^2 - 4 < 0 \end{cases}$

    由 $m^2 - 3m + 2 > 0$ 得 $m < 1$ 或 $m > 2$

    由 $m^2 - 4 < 0$ 得 $-2 < m < 2$

    取交集：$-2 < m < 1$

    练习2 — 复数的运算

    第1题 基础

    计算下列各式：

    (1) $(3 + 2i) + (5 - 4i)$

    (2) $(7 - 3i) - (2 + 5i)$

    (3) $(2 + 3i)(1 - 2i)$

    📖 答案：

    (1) $(3 + 2i) + (5 - 4i) = (3 + 5) + (2 - 4)i = 8 - 2i$

    (2) $(7 - 3i) - (2 + 5i) = (7 - 2) + (-3 - 5)i = 5 - 8i$

    (3) $(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2 = 2 - i - 6(-1) = 2 - i + 6 = 8 - i$

    第2题 进阶

    计算：$\dfrac{3 + 4i}{1 - 2i}$（结果用 $a + bi$ 的形式表示）。

    📖 答案：

    $\dfrac{3 + 4i}{1 - 2i} = \dfrac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \dfrac{3 + 6i + 4i + 8i^2}{1 - (2i)^2}$

    $= \dfrac{3 + 10i - 8}{1 + 4} = \dfrac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i$

    第3题 挑战

    已知 $z = \dfrac{1 + i}{1 - i}$，求 $z^{2024}$ 的值。

    📖 答案：

    $z = \dfrac{1 + i}{1 - i} = \dfrac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \dfrac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \dfrac{2i}{2} = i$

    $i^1 = i$，$i^2 = -1$，$i^3 = -i$，$i^4 = 1$，周期为 $4$

    $2024 \div 4 = 506 \cdots 0$，$z^{2024} = i^{2024} = (i^4)^{506} = 1^{506} = \textbf{1}$

    练习3 — 复数的几何意义

    第1题 进阶

    已知复数 $z_1 = 3 + 4i$，$z_2 = 5 - 12i$。求：

    (1) $|z_1|$ 和 $|z_2|$

    (2) $|z_1 + z_2|$

    📖 答案：

    (1) $|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

    $|z_2| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$

    (2) $z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (5 - 12i) = 8 - 8i$

    $|z_1 + z_2| = \sqrt{8^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$

    第2题 挑战

    在复平面内，复数 $z$ 满足 $|z - 1| = |z - i|$，求复数 $z$ 对应点的轨迹方程，并说明这是什么图形。

    📖 答案：

    设 $z = x + yi$（$x, y \in \mathbb{R}$）

    $|z - 1| = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$

    $|z - i| = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$

    由 $|z - 1| = |z - i|$ 得：

    $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$

    两边平方：$(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2$

    $x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$

    $-2x = -2y$

    轨迹方程为 $y = x$

    这是复平面内的一条直线，即第一、三象限角平分线。

    ​💡 该轨迹的几何意义：到点 $(1, 0)$ 和 $(0, 1)$ 距离相等的点的集合，即两点的垂直平分线。