(1) 错误。过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。如果三点共线，则过这三点有无数个平面。

(2) 错误。如果一条直线上的两点在平面内，则这条直线在该平面内。直线与平面只有一个公共点，说明直线与平面相交。

(3) 正确。这是公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

💡 平面的基本性质由三个公理确定，注意公理的条件和结论。

(1) $A \in \alpha$，$B \notin \alpha$

(2) $l \subset \alpha$，$\alpha \cap \beta = m$

(3) $a \cap b = P$，且 $a \subset \alpha$

💡 注意区分 $\in$（点与直线或平面的关系）和 $\subset$（直线与平面的关系）。

证明：设 $\triangle ABC$ 所在平面为 $\beta$。

$\because AB \subset \beta$，$P \in AB$，$\therefore P \in \beta$。

又 $P \in \alpha$，$\therefore P \in \alpha \cap \beta$。

同理 $Q \in \alpha \cap \beta$，$R \in \alpha \cap \beta$。

由公理3，$\alpha \cap \beta$ 是一条直线，设为 $l$。

$\therefore P$、$Q$、$R$ 都在直线 $l$ 上，即三点共线。

💡 证明三点共线的方法：先由两点确定一条直线（两平面的交线），再证第三点也在这条直线上。

(1) 平行。$AA_1 \parallel DD_1$（都垂直于底面 $ABCD$）。

(2) 相交。$A_1B$ 和 $AD_1$ 都在平面 $A_1BCD_1$ 内，且不平行，故相交。

(3) 异面。$AB$ 在底面 $ABCD$ 内，$CC_1$ 垂直于底面，二者既不平行也不相交。

💡 判断异面直线的关键：两条直线既不平行也不相交。

连接 $A_1D$，$\because A_1D \parallel B_1C$，

$\therefore \angle BA_1D$ 即为异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成的角。

在 $\triangle A_1BD$ 中，$A_1B = BD = A_1D = 2\sqrt{2}$（均为面对角线），

$\therefore \triangle A_1BD$ 为等边三角形，$\angle BA_1D = 60^\circ$。

$\therefore$ 异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成的角为 $60^\circ$。

💡 求异面直线所成的角的关键是"平移"：将其中一条直线平移至与另一条相交。

两人的说法都不完整。正确的结论是：$a \parallel c$ 或 $a$ 与 $c$ 重合。

平行公理（传递性）：平行于同一直线的两条直线互相平行。

但公理中默认这两条直线是"不同的直线"，若 $a$ 和 $c$ 是同一条直线（重合），也称为平行的一种特殊情况。

完整的空间直线平行传递性：$a \parallel b$ 且 $b \parallel c$ $\Rightarrow$ $a \parallel c$（允许重合）。

💡 平行关系具有传递性，但需注意重合是平行的特殊情况。

(1) 错误。线面平行只能推出这条直线与平面内某些直线平行，但不能推出与平面内任意一条直线都平行。该直线与平面内的直线可能异面。

(2) 正确。这是线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于该平面内的任意一条直线。

(3) 正确。这是直线与平面相交的定义。

💡 线面平行 $\nRightarrow$ 线线平行于面内所有直线；线面垂直 $\Rightarrow$ 线线垂直于面内所有直线。

证明：连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，连接 $EO$。

$\because$ 底面 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore O$ 为 $AC$ 的中点。

又 $E$ 为 $PC$ 的中点，$\therefore EO$ 为 $\triangle PAC$ 的中位线，$\therefore EO \parallel PA$。

$\because EO \subset$ 平面 $BDE$，$PA \not\subset$ 平面 $BDE$，

$\therefore PA \parallel$ 平面 $BDE$（线面平行的判定定理）。

💡 证明线面平行的关键：在平面内找到一条与已知直线平行的直线。

证明（反证法）：

假设 $a$ 与 $b$ 不平行。

过直线 $b$ 上一点作 $b' \parallel a$，则 $b' \perp \alpha$（垂直于同一平面的直线互相平行）。

于是过同一点有两条直线 $b$ 和 $b'$ 都垂直于平面 $\alpha$，矛盾。

$\therefore a \parallel b$。

或者用性质定理直接证：

$\because a \perp \alpha$，$b \perp \alpha$，$\therefore a \parallel b$（垂直于同一平面的两条直线互相平行）。

💡 "垂直于同一平面的两条直线互相平行"是线面垂直的重要性质。

(1) 错误。必须是"两条相交直线"。如果这两条直线平行，则不能推出面面平行。

(2) 正确。这是面面垂直的判定定理。

(3) 正确。二面角的范围是 $[0^\circ, 180^\circ]$，当两个半平面重合时为 $0^\circ$，当两个半平面构成直二面角时为 $90^\circ$。

💡 面面平行的判定中"两条相交直线"这个条件不能少！

$\because PA \perp$ 平面 $ABC$，$BC \subset$ 平面 $ABC$，$\therefore PA \perp BC$。

又 $AB \perp BC$，$PA \cap AB = A$，$\therefore BC \perp$ 平面 $PAB$。

$\because PB \subset$ 平面 $PAB$，$\therefore BC \perp PB$。

$\therefore \angle PBA$ 即为二面角 $P-BC-A$ 的平面角。

在 $\text{Rt}\triangle PAB$ 中，$PA = AB = 1$，$\therefore \angle PBA = 45^\circ$。

$\therefore$ 二面角 $P-BC-A$ 的大小为 $45^\circ$。

💡 找二面角的平面角的关键：在棱上取一点，分别在两个面内作垂直于棱的射线。

证明：

情况1：若 $l \perp \alpha$，则 $l \perp \beta$，$\theta_1 = \theta_2 = 90^\circ$。

情况2：若 $l$ 与 $\alpha$ 斜交，设 $l \cap \alpha = A$，$l \cap \beta = B$。

过 $l$ 上一点（不同于 $A$）作 $\alpha$ 的垂线，垂足为 $C$，则 $C$ 也在 $\beta$ 上的投影为 $D$。

$\because \alpha \parallel \beta$，$\therefore$ 两平面的平行线到两平面的距离相等。

设直线 $l$ 与 $\alpha$ 的夹角 $\theta_1$，与 $\beta$ 的夹角 $\theta_2$，

由线面角定义：$\sin\theta_1 = \dfrac{d}{AB_1}$，$\sin\theta_2 = \dfrac{d}{AB_2}$，

其中 $d$ 为两平行平面间的距离，$AB_1$ 和 $AB_2$ 为 $l$ 在 $\alpha$ 和 $\beta$ 间的线段长。

但 $l$ 与 $\alpha$ 的交点 $A$ 到与 $\beta$ 的交点 $B$ 是同一个截距，

所以 $\theta_1 = \theta_2$。

💡 一条直线与两个平行平面所成的角相等。

(1) 三棱柱有 6 个顶点，9 条棱，5 个面（2个底面+3个侧面）。

(2) 四棱锥有 5 个顶点，8 条棱，5 个面（1个底面+4个侧面）。

(3) 五棱台的上、下底面分别是 五 边形和 五 边形。

💡 欧拉公式：顶点数 $V$ - 棱数 $E$ + 面数 $F = 2$，可用于检验多面体的顶点、棱、面计数。

正三棱柱的底面是边长为 $2$ 的等边三角形。

底面周长：$C = 3 \times 2 = 6$

侧面积：$S_{\text{侧}} = C \times h = 6 \times 3 = \textbf{18}$

底面积：$S_{\text{底}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$

体积：$V = S_{\text{底}} \times h = \sqrt{3} \times 3 = \textbf{$3\sqrt{3}$}$

💡 棱柱的侧面积 = 底面周长 $\times$ 高（适用于直棱柱）。

上底面积：$S_1 = 2^2 = 4$

下底面积：$S_2 = 4^2 = 16$

台体体积公式：$V = \dfrac{1}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})h$

$\sqrt{S_1S_2} = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8$

$V = \dfrac{1}{3}(4 + 16 + 8) \times 3 = \dfrac{1}{3} \times 28 \times 3 = \textbf{28}$

💡 台体体积公式可以看作是锥体体积公式的推广。当 $S_1 = 0$ 时变为锥体公式，当 $S_1 = S_2$ 时变为柱体公式。

A 错误：应以直角三角形的直角边为轴旋转才得圆锥，以斜边为轴得的是两个圆锥的组合体。

C 错误：应以直角梯形的直角腰为轴旋转才得圆台。

D 错误：半圆绕直径旋转一周得到的几何体是球（球体），不是半球。

💡 旋转体由平面图形绕一条轴旋转一周形成，注意轴的不同选择会得到不同的几何体。

设圆锥的高为 $h$，底面半径为 $r = 3$，母线长为 $l = 5$。

由勾股定理：$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = \textbf{4}$

侧面积：$S_{\text{侧}} = \pi r l = \pi \times 3 \times 5 = \textbf{$15\pi$}$

💡 圆锥的轴截面是一个等腰三角形，腰为母线，底为底面直径。

设圆台的高为 $h$，上底半径 $r_1 = 2$，下底半径 $r_2 = 4$，母线长 $l = 5$。

在圆台的轴截面（等腰梯形）中，两底半径之差为 $r_2 - r_1 = 2$。

由勾股定理：$h = \sqrt{l^2 - (r_2 - r_1)^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}$

侧面积：$S_{\text{侧}} = \pi (r_1 + r_2) l = \pi (2 + 4) \times 5 = \textbf{$30\pi$}$

💡 圆台的轴截面是等腰梯形，利用梯形的几何关系可求高和母线。

(1) $V_{\text{圆柱}} = \pi r^2 h = \pi \times 2^2 \times 5 = \textbf{$20\pi$}$

(2) $V_{\text{圆锥}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 6 = \dfrac{1}{3}\pi \times 9 \times 6 = \textbf{$18\pi$}$

(3) $V_{\text{球}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = \textbf{$36\pi$}$

💡 记住三个基本体积公式：柱体 $V=Sh$，锥体 $V=\frac{1}{3}Sh$，球 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$。

圆柱侧面展开为正方形，$\therefore$ 底面周长 = 高。

底面周长：$C = 2\pi r = 2\pi \times 2 = 4\pi$

$\therefore$ 高 $h = 4\pi$

底面积：$S_{\text{底}} = \pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi$

侧面积：$S_{\text{侧}} = Ch = 4\pi \times 4\pi = 16\pi^2$

表面积：$S = 2S_{\text{底}} + S_{\text{侧}} = 2 \times 4\pi + 16\pi^2 = \textbf{$8\pi + 16\pi^2$}$

💡 圆柱侧面展开是矩形，矩形的长 = 底面周长，宽 = 圆柱的高。

球体积公式：$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

$\dfrac{4}{3}\pi R^3 = 36\pi$

$R^3 = 36\pi \times \dfrac{3}{4\pi} = 27$

$R = \sqrt[3]{27} = 3$

球表面积：$S = 4\pi R^2 = 4\pi \times 3^2 = \textbf{$36\pi$}$

💡 注意：当半径为 $3$ 时，球的体积和表面积数值相同（$36\pi$），但单位不同。

圆锥体积：$V_{\text{锥}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 12 = \dfrac{1}{3}\pi \times 9 \times 12 = 36\pi$

设圆柱中水的高度为 $H$，则：$V_{\text{柱}} = \pi R^2 H = \pi \times 3^2 \times H = 9\pi H$

水的体积不变：$9\pi H = 36\pi$

$H = \dfrac{36\pi}{9\pi} = \textbf{4}$

答：圆柱形容器中水的高度为 4。

💡 等体积变形问题：抓住体积不变这个等量关系列方程求解。

(1) 随机事件（可能正面也可能反面）

(2) 必然事件（标准大气压下 $100^\circ\text{C}$ 水必沸腾）

(3) 随机事件（取决于天气情况）

(4) 随机事件（可能抽到也可能抽不到）

💡 必然事件概率为 $1$，不可能事件概率为 $0$，随机事件概率在 $(0,1)$ 之间。

(1) 错误。在古典概型中概率为 $0$ 的事件是不可能事件，但在几何概型或连续型随机变量中，概率为 $0$ 的事件不一定是不可能事件。例如从区间 $[0,1]$ 中随机取一个数，恰好取到 $0.5$ 的概率为 $0$，但这个事件可能发生。

(2) 错误。同理，概率为 $1$ 的事件不一定是必然事件。例如从区间 $[0,1]$ 中取一个数不是 $0.5$ 的概率为 $1$，但这并不是必然事件。

💡 在高中的古典概型中，可以认为"概率为 $0$ 是不可能事件"，但要注意这个结论在更一般的概率模型中不成立。

基本事件总数：袋子中共有 $3 + 2 = 5$ 个球，每个球被摸到的可能性相同。

事件 $A$ = "摸到红球"，包含 $3$ 个基本事件。

$P(A) = \dfrac{3}{5} = 0.6$

答：摸到红球的概率为 $0.6$ 或 $\dfrac{3}{5}$。

💡 古典概型公式：$P(A) = \dfrac{\text{事件 }A\text{ 包含的基本事件数}}{\text{基本事件总数}}$。

基本事件总数：$6 \times 6 = 36$ 种。

(1) 点数之和为 $7$ 的情况：$(1,6)$、$(2,5)$、$(3,4)$、$(4,3)$、$(5,2)$、$(6,1)$，共 $6$ 种。

$P(\text{和为 }7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \approx 0.167$

(2) 点数之积为奇数的情况：两个骰子的点数都是奇数。

奇数点数有 $1,3,5$ 共 $3$ 种，$3 \times 3 = 9$ 种。

点数之积为偶数的情况数：$36 - 9 = 27$ 种。

$P(\text{积为偶数}) = \dfrac{27}{36} = \dfrac{3}{4} = 0.75$

💡 求"积为偶数"用"对立事件"更简单：$P(\text{积为偶数}) = 1 - P(\text{积为奇数})$。

基本事件总数：从 $5$ 个数字中选 $2$ 个排列，$A_5^2 = 5 \times 4 = 20$ 种。

(1) 偶数要求个位为偶数。个位可以是 $2$ 或 $4$。

当个位为 $2$ 时，十位有 $4$ 种选择（$1,3,4,5$），共 $4$ 种。

当个位为 $4$ 时，十位有 $4$ 种选择（$1,2,3,5$），共 $4$ 种。

共 $4 + 4 = 8$ 种。$P(\text{偶数}) = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 0.4$

(2) 大于 $30$ 的两位数要求十位 $\geqslant 3$。

十位为 $3$ 时，个位有 $4$ 种；十位为 $4$ 时，个位有 $4$ 种；十位为 $5$ 时，个位有 $4$ 种。

共 $4 + 4 + 4 = 12$ 种。$P(>30) = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5} = 0.6$

💡 用排列计数时，注意"不同数字"意味着没有重复数字。

基本事件总数：$3 \times 3 = 9$ 种。

(1) 甲获胜的情况：甲出石头且乙出剪刀、甲出剪刀且乙出布、甲出布且乙出石头，共 $3$ 种。

$P(\text{甲胜}) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$

(2) 平局的情况：两人出相同拳，即（石头,石头）、（剪刀,剪刀）、（布,布），共 $3$ 种。

$P(\text{平局}) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$

同理乙获胜的概率也是 $\dfrac{1}{3}$。三者概率之和为 $1$。

💡 猜拳游戏的结果有三种：甲胜、乙胜、平局。游戏是公平的，双方获胜概率相等。

(1) 频率 $= \dfrac{48}{100} = 0.48$

(2) 大量重复试验中频率趋近于概率。硬币是均匀的，正面朝上的概率为 $0.5$。

💡 频率是试验结果，随试验次数变化；概率是客观存在的常数。试验次数越多，频率越接近概率。

(1) $100$ 次的频率：$\dfrac{85}{100} = 0.85$

$200$ 次的频率：$\dfrac{172}{200} = 0.86$

$500$ 次的频率：$\dfrac{432}{500} = 0.864$

(2) 随着试验次数增加，频率在 $0.86$ 附近波动并趋于稳定，估算该运动员命中的概率约为 $0.86$。

💡 用频率估计概率时，试验次数越多，估计越准确。

频率稳定在 $0.3$ 附近，估计摸到红球的概率为 $0.3$。

设红球有 $x$ 个，则 $\dfrac{x}{20} = 0.3$。

$x = 20 \times 0.3 = 6$

白球数量：$20 - 6 = 14$

答：估计袋中红球有 6 个，白球有 14 个。

💡 利用大数定律和频率的稳定性，可以用样本频率估计总体概率，进而推算总体数量分布。

(1) 简单随机抽样（直接随机抽取，每个个体被抽到的机会均等）

(2) 系统抽样（按一定间隔抽取样本）

(3) 分层抽样（按特征分层后每层抽取）

💡 三种抽样方法的区别：简单随机抽样的个体编号"无规律"；系统抽样的个体编号"等差"；分层抽样先按特征分层。

总人数：$1200 + 800 = 2000$ 人。

抽样比例：$\dfrac{100}{2000} = \dfrac{1}{20}$

初中应抽：$1200 \times \dfrac{1}{20} = \textbf{60}$ 人

高中应抽：$800 \times \dfrac{1}{20} = \textbf{40}$ 人

或：高中应抽 $100 - 60 = 40$ 人。

💡 分层抽样按比例分配：每层抽取人数 = 该层人数 $\times$ 抽样比例。

方案 C 最合理。

方案A的偏差——便利抽样偏差：街头行人不能代表全体居民（如不上班的人群、交通不便区域的居民可能被遗漏）。

方案B的偏差——覆盖偏差：不是所有居民都有电话或有固定电话，低收入群体可能被遗漏。

方案C的优点——分层抽样：按街道分层确保了各区域的代表性，再按人口比例分配，能较好地反映整体情况。

💡 抽样调查中要避免"便利抽样"和"覆盖不全"导致的偏差。分层抽样是提高样本代表性的重要方法。

(1) 平均数：$\bar{x} = \dfrac{5 + 8 + 12 + 6 + 9}{5} = \dfrac{40}{5} = \textbf{8}$

(2) 排序：$5, 6, 8, 9, 12$，中间位置为第 $3$ 个，中位数 = 8

(3) 各数据出现次数均为 $1$，没有众数。

💡 平均数易受极端值影响，中位数能更好地反映数据的"中心位置"。

平均数：$\bar{x} = \dfrac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$

(1) 极差 $= 10 - 2 = \textbf{8}$

(2) 方差：$s^2 = \dfrac{1}{5}[(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2]$

$s^2 = \dfrac{1}{5}(16 + 4 + 0 + 4 + 16) = \dfrac{1}{5} \times 40 = \textbf{8}$

标准差：$s = \sqrt{8} = \textbf{$2\sqrt{2}$} \approx 2.83$

💡 方差反映数据的离散程度，方差越大数据越分散。标准差是方差的算术平方根，与原数据单位一致。

甲的平均数：$\bar{x}_{\text{甲}} = \dfrac{8+9+7+10+8+9+8+7+9+10}{10} = \dfrac{85}{10} = 8.5$

乙的平均数：$\bar{x}_{\text{乙}} = \dfrac{6+10+9+8+7+10+8+9+6+10}{10} = \dfrac{83}{10} = 8.3$

甲的方差：

$s^2_{\text{甲}} = \dfrac{1}{10}[(8-8.5)^2 + (9-8.5)^2 + \cdots + (10-8.5)^2]$

$= \dfrac{1}{10}(0.25+0.25+2.25+2.25+0.25+0.25+0.25+2.25+0.25+2.25)$

$= \dfrac{1}{10} \times 10.5 = 1.05$

乙的方差：

$s^2_{\text{乙}} = \dfrac{1}{10}[(6-8.3)^2 + (10-8.3)^2 + \cdots + (10-8.3)^2]$

$= \dfrac{1}{10}(5.29+2.89+0.49+0.09+1.69+2.89+0.09+0.49+5.29+2.89)$

$= \dfrac{1}{10} \times 22.1 = 2.21$

$\because 1.05 < 2.21$，$\therefore$ 甲的成绩更稳定。

💡 平均反映"水平"，方差反映"稳定性"。方差越小，数据越集中，成绩越稳定。

新平均数：$\bar{x}' = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i + c) = \dfrac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i + nc\right) = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i + c = \bar{x} + c$

新方差：$s'^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[ (x_i + c) - (\bar{x} + c) ]^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = s^2$

结论：每个数据都加上同一个常数 $c$，平均数也增加 $c$，方差不变。

💡 平移变换不改变数据的离散程度（方差不变），但会整体平移平均数。这个性质在数据处理中非常有用！

(1) 频率 $= \dfrac{\text{频数}}{\text{总数}}$：

$[60,70)$：$\dfrac{5}{40} = 0.125$；$[70,80)$：$\dfrac{10}{40} = 0.25$

$[80,90)$：$\dfrac{15}{40} = 0.375$；$[90,100]$：$\dfrac{10}{40} = 0.25$

验证：$0.125 + 0.25 + 0.375 + 0.25 = 1$ ✓

(2) $80$ 分以下：$5 + 10 = \textbf{15}$ 人，占比 $\dfrac{15}{40} = 0.375$，即 $37.5\%$。

💡 频数分布表中，各组的频率之和等于 $1$。

(1) $\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 35 - 20 = \textbf{15}$

(2) 下界：$Q_1 - 1.5 \times \text{IQR} = 20 - 1.5 \times 15 = 20 - 22.5 = -2.5$

上界：$Q_3 + 1.5 \times \text{IQR} = 35 + 1.5 \times 15 = 35 + 22.5 = 57.5$

最小值 $12 > -2.5$，最大值 $50 < 57.5$，$\therefore$ 不存在异常值。

💡 箱线图通过五数概括直观展示数据分布，四分位距衡量中间 $50\%$ 数据的离散程度。

(1) 平均数：$\bar{x} = \dfrac{12+15+13+20+18+14+16+30+17+15}{10} = \dfrac{170}{10} = \textbf{17（万元）}$

排序：$12, 13, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 20, 30$

中位数：第 $5$ 和第 $6$ 个数的平均值 = $\dfrac{15 + 16}{2} = \textbf{15.5（万元）}$

(2) 中位数更合适。因为数据中存在极端值 $30$（可能是某天做活动或特殊原因导致的异常高销售额），平均数为 $17$ 被这个极端值拉高了，不能反映大多数日子的销售水平。而中位数 $15.5$ 不受极端值影响，更能代表数据的"一般水平"。

💡 当数据中存在极端值时，中位数比平均数更能反映数据的集中趋势。