(1) 有理数：$\frac{1}{3}$，$-\frac{5}{7}$，$0$，$3.14$，$\sqrt[3]{8}$（因为 $\sqrt[3]{8}=2$）

(2) 无理数：$\sqrt{2}$，$\pi$，$0.121221222\ldots$

💡 判断依据：有理数是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。注意 $\sqrt[3]{8}=2$ 是整数，属于有理数。

(1) 错误。无限循环小数（如 $0.\dot{3}$）是有理数。

(2) 正确。无理数是无限不循环小数，当然是无限小数。

(3) 错误。如 $\sqrt{4}=2$ 是有理数。带根号的数化简后若为无理数才是无理数。

(4) 正确。这是实数的重要性质，每个实数对应数轴上唯一一个点。

💡 易错点："无限"和"无理"要分清，循环不循环是关键。

$-\sqrt{5}$ 是无理数，$\sqrt{25}=5$ 是有理数，$\frac{\pi}{2}$ 是无理数，$0.\dot{1}\dot{2}$ 是无限循环小数（有理数），$\frac{22}{7}$ 是分数（有理数）。

💡 判断数的类型时，先看能否化为分数形式。

(1) $64$ 的平方根：$\pm 8$，算术平方根：$8$

(2) $\frac{9}{16}$ 的平方根：$\pm \frac{3}{4}$，算术平方根：$\frac{3}{4}$

(3) $0.01$ 的平方根：$\pm 0.1$，算术平方根：$0.1$

💡 注意平方根有两个（互为相反数），算术平方根取正的那个。

(1) $\sqrt{49}=7$   (2) $-\sqrt{25}=-5$   (3) $\pm\sqrt{144}=\pm 12$

(4) $\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$   (5) $(\sqrt{13})^2=13$   (6) $\sqrt{0}=0$

💡 $\sqrt{a^2}=|a|$（先平方再开方得绝对值），$(\sqrt{a})^2=a$（先开方再平方得本身）。

因为 $\sqrt{x-3} \ge 0$，$|y+2| \ge 0$，

且两者之和为 $0$，所以 $\sqrt{x-3}=0$ 且 $|y+2|=0$

即 $x-3=0$，$y+2=0$

解得 $x=3$，$y=-2$

所以 $x+y = 3+(-2) = \textbf{1}$

💡 非负数的性质：几个非负数之和为 $0$，则每个非负数都为 $0$。

设正方形边长为 $x$ cm，则 $x^2=50$

$x=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$（边长取正值）

答：正方形边长为 $\textbf{5}\sqrt{\textbf{2}}{\textbf{ cm}}$

💡 实际应用中边长取算术平方根（正数）。

(1) $\sqrt[3]{27}=3$   (2) $\sqrt[3]{-64}=-4$   (3) $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$   (4) $\sqrt[3]{0}=0$

💡 与平方根不同，负数有立方根（负的），正数有立方根（正的），$0$ 的立方根是 $0$。

(1) $\sqrt[3]{-125} = -5$   (2) $\sqrt[3]{0.008} = 0.2$

(3) $\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = -2$

💡 对于立方根，$\sqrt[3]{a^3}=a$ 对任意实数 $a$ 成立，不需要加绝对值。与平方根的 $\sqrt{a^2}=|a|$ 不同。

$\sqrt[3]{x-1}+2=0$

$\sqrt[3]{x-1}=-2$

$x-1=(-2)^3=-8$

$x=-8+1=\textbf{-7}$

💡 解这类方程时，两边同时立方即可，不需要讨论正负（立方根没有符号限制）。

(1) $\sqrt[4]{16}=2$（因为 $2^4=16$）

(2) $\sqrt[5]{32}=2$（因为 $2^5=32$）

(3) $\sqrt[6]{64}=2$（因为 $2^6=64$）

💡 当被开方数是 $2$ 的幂时，转化为 $2^k$ 的形式更容易计算。

(1) 没有意义。偶次方根下被开方数必须 $\ge 0$，$-16 < 0$。

(2) 有意义。奇次方根下被开方数可以是任意实数，$\sqrt[5]{-32}=-2$。

(3) 有意义。$\sqrt[6]{(-2)^2}=\sqrt[6]{4}=2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}$。

💡 关键：奇次方根下可为负，偶次方根下必须非负。

数轴上从左到右的顺序：$-1.5 < -\sqrt{2} < 0 < \frac{1}{2} < \sqrt{5}$

因为 $-\sqrt{2} \approx -1.414$，$\sqrt{5} \approx 2.236$

💡 比较无理数的大小时，可以先估算近似值再比较。

(1) 因为 $a < 0$，$b > 0$，所以 $-b < 0$。由于 $|a| > |b|$，$a < -b$，即 $a < -b$

(2) $-a = |a|$，因为 $|a| > |b| = b$，所以 $-a > b$

(3) 由已知 $|a| > |b|$

💡 在数轴上，右边的数总比左边的数大。相反数关于原点对称。

(1) $\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{3}\times\sqrt{2}=\sqrt{6}$

💡 同类根式可以合并，不同类根式不能直接合并。根式乘法：$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a,b\ge 0$）。

(1) $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = \textbf{2}$

(2) $(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = \textbf{3 + 2}\sqrt{\textbf{2}}$

💡 完全平方公式和平方差公式在实数范围内同样适用！

$\sqrt{7}-\sqrt{3} \approx 2.646 - 1.732 = 0.914$

$\sqrt{6}-\sqrt{2} \approx 2.449 - 1.414 = 1.035$

所以 $\sqrt{7}-\sqrt{3} < \sqrt{6}-\sqrt{2}$

也可以用分子有理化：

$\sqrt{7}-\sqrt{3} = \frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$，$\sqrt{6}-\sqrt{2} = \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

因为 $\sqrt{7}+\sqrt{3} > \sqrt{6}+\sqrt{2}$，所以第一个分式小于第二个分式，结论相同。

💡 比较根式差的大小，可用分子有理化或取近似值。

(1) $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$

(2) $\sqrt[4]{2^3} = 2^{\frac{3}{4}}$

(3) $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$

💡 一般形式：$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$（$a \ge 0$）。

(1) $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = \textbf{2}$

(2) $8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = \textbf{4}$

(3) $16^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{\textbf{2}}$

💡 分数指数幂的运算：$a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$，负指数幂：$a^{-k} = \frac{1}{a^k}$。

$27^{\frac{2}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^2 = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$

$100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$

$(\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$

原式 $= 9 + 10 - 4 = \textbf{15}$

💡 注意负指数幂的含义：$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$。

$\angle BOD = \angle AOC = 40^\circ$（对顶角相等）

$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$（邻补角互补）

$\angle BOC = \angle AOD = 140^\circ$（对顶角相等）

💡 两条直线相交，对顶角相等，邻补角互补。

设较小的角为 $x^\circ$，则较大的角为 $3x^\circ$

这两个角是邻补角关系，所以 $x + 3x = 180$

$4x = 180$，$x = 45$

两个角分别为 $\textbf{45}^\circ$ 和 $\textbf{135}^\circ$

💡 两条直线相交，要么是对顶角（相等），要么是邻补角（互补）。本题中两角不相等，所以是邻补角。

因为 $AB \perp CD$，所以 $\angle AOC = 90^\circ$

$\angle COE = \angle AOC - \angle AOE = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

$\angle DOF = \angle COE = 60^\circ$（对顶角相等）

答：$\angle DOF = \textbf{60}^\circ$

💡 垂直即 $90^\circ$，结合对顶角、邻补角性质求解。

点到直线的距离是垂线段的长度（数量），不是垂线段本身（图形）。

💡 易错："距离"是长度（数值），不是线段本身。注意区分"垂线段"和"垂线段长度"。

因为 $OD \perp OA$，所以 $\angle AOD = 90^\circ$

因为 $OE \perp OB$，所以 $\angle BOE = 90^\circ$

如图所示，$\angle DOE = \angle AOD + \angle BOE - \angle AOB$

$= 90^\circ + 90^\circ - 160^\circ = \textbf{20}^\circ$

💡 当多条垂线相交时，利用角的和差关系求解。注意画图辅助分析。

设 $\angle 1$ 到 $\angle 8$ 分别为各位置的角（标准"三线八角"图）。

(1) 同位角有 4 对：$\angle 1$ 与 $\angle 5$、$\angle 2$ 与 $\angle 6$、$\angle 3$ 与 $\angle 7$、$\angle 4$ 与 $\angle 8$（F 型）

(2) 内错角有 2 对：$\angle 3$ 与 $\angle 5$、$\angle 4$ 与 $\angle 6$（Z 型）

(3) 同旁内角有 2 对：$\angle 3$ 与 $\angle 6$、$\angle 4$ 与 $\angle 5$（U 型）

💡 三线八角：同位角 $4$ 对（F 型），内错角 $2$ 对（Z 型），同旁内角 $2$ 对（U 型）。

同位角必须满足两个条件：

① 在被截两直线的同一方向（同上或同下）；

② 在截线的同一侧（同左或同右）。

题干描述的 $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 虽然都在截线上方，但一个在左侧一个在右侧，不符合条件。

💡 判断角的关系时，要结合"三线八角"模型，找准截线和被截线。

$a \parallel b$

因为 $\angle 1 = \angle 2 = 60^\circ$，且 $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 是同位角，

根据"同位角相等，两直线平行"，所以 $a \parallel b$。

💡 平行线的判定是由角的关系推出线的关系。

方法一（用同位角）：若 $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是同位角，则 $\angle 2 = \angle 1 = 65^\circ$ 时 $a \parallel b$。

方法二（用同旁内角）：若 $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是同旁内角，则 $\angle 2 = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ 时 $a \parallel b$。

方法三（用内错角）：若 $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是内错角，则 $\angle 2 = \angle 1 = 65^\circ$ 时 $a \parallel b$。

💡 平行线的判定有三种方法，需要根据 $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 的实际位置关系选择。

证明：过点 $C$ 作 $CF \parallel AB$

$\because CF \parallel AB$，$\therefore \angle B + \angle BCF = 180^\circ$（同旁内角互补）

$\because \angle B + \angle BCD + \angle D = 360^\circ$（已知）

$\therefore \angle D + \angle DCF = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$

$\therefore CF \parallel ED$（同旁内角互补，两直线平行）

$\because CF \parallel AB$，$CF \parallel ED$，$\therefore AB \parallel ED$（平行线的传递性）

💡 遇到折线问题，常过折点作平行线辅助线。

A 错：缺少"在同一平面内"这个前提。

B 正确：垂直于同一条直线的两条直线平行。

C 错：正确的说法是"过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行"。

D 错：垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不是垂直。

💡 平行公理及其推论要记准确，特别是"过直线外一点"这个条件不能漏。

$\because a \parallel b$，$\therefore \angle 2 = \angle 1 = 55^\circ$（两直线平行，同位角相等）

$\because a \parallel b$，$\therefore \angle 3 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$（两直线平行，同旁内角互补）

答：$\angle 2 = \textbf{55}^\circ$，$\angle 3 = \textbf{125}^\circ$

💡 平行线的性质：由线平行推出角的关系（相等或互补）。

过点 $E$ 作 $EF \parallel AB$

$\because AB \parallel CD$，$EF \parallel AB$，$\therefore EF \parallel CD$（平行线的传递性）

$\because EF \parallel AB$，$\therefore \angle AEF = \angle A = 45^\circ$（两直线平行，内错角相等）

$\because EF \parallel CD$，$\therefore \angle CEF = \angle C = 30^\circ$（两直线平行，内错角相等）

$\therefore \angle E = \angle AEF + \angle CEF = 45^\circ + 30^\circ = \textbf{75}^\circ$

💡 遇到拐角问题，过拐点作平行线是常见的辅助线作法。

证明：$\because AB \parallel CD$（已知）

$\therefore \angle ABC = \angle BCD$（两直线平行，内错角相等）

$\because \angle 1 = \angle 2$（已知）

$\therefore \angle ABC - \angle 1 = \angle BCD - \angle 2$

即 $\angle EBC = \angle BCF$

$\therefore BE \parallel CF$（内错角相等，两直线平行）

💡 综合运用平行线的性质（由线推角）和判定（由角推线），注意区分。

(1) 能。$3+4 > 5$，$3+5 > 4$，$4+5 > 3$，满足两边之和大于第三边。

(2) 不能。$2+3=5 < 6$，两边之和小于第三边。

(3) 不能。$5+5=10$，两边之和等于第三边，构成退化三角形（共线），不是真正的三角形。

💡 三角形三边关系：两边之和 大于（而非大于等于）第三边。

分两种情况讨论：

情况一：$6$cm 为腰长，则另一腰也为 $6$cm，底边 $=20-6-6=8$cm

 检验：$6+6 > 8$，$6+8 > 6$，能组成三角形。

情况二：$6$cm 为底边长，则两腰各为 $(20-6)\div 2 = 7$cm

 检验：$7+7 > 6$，$7+6 > 7$，能组成三角形。

答：另外两边为 $\textbf{6cm 和 8cm}$ 或 $\textbf{7cm 和 7cm}$

💡 等腰三角形需分类讨论，考虑已知边是腰还是底，并用三边关系检验。

(1) 锐角三角形：三个内角都是锐角（$< 90^\circ$），例如 $\triangle ABC$ 中 $\angle A=50^\circ$，$\angle B=60^\circ$，$\angle C=70^\circ$

(2) 直角三角形：有一个内角是直角（$= 90^\circ$），例如 $\angle A=90^\circ$，$\angle B=30^\circ$，$\angle C=60^\circ$

(3) 钝角三角形：有一个内角是钝角（$> 90^\circ$），例如 $\angle A=120^\circ$，$\angle B=30^\circ$，$\angle C=30^\circ$

💡 按角分，三角形有且只有一个直角或钝角，其余两个必为锐角。

(1) $\angle C = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = \textbf{80}^\circ$

(2) 设 $\angle A = \angle B = \angle C = x$，则 $3x = 180^\circ$，$x = \textbf{60}^\circ$，所以三角形是等边三角形。

💡 三角形内角和恒为 $180^\circ$，是求解三角形角度的基本工具。

设 $\angle B = x$，则 $\angle A = 2x$，$\angle C = x + 30^\circ$

由三角形内角和：$2x + x + (x + 30^\circ) = 180^\circ$

$4x + 30^\circ = 180^\circ$

$4x = 150^\circ$

$x = 37.5^\circ$

$\angle A = 75^\circ$，$\angle B = 37.5^\circ$，$\angle C = 67.5^\circ$

答：$\angle A=\textbf{75}^\circ$，$\angle B=\textbf{37.5}^\circ$，$\angle C=\textbf{67.5}^\circ$

💡 列方程求解角度问题，关键是设出未知数并表示所有角，利用内角和 $180^\circ$ 列方程。

$\angle ACB = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ$

$CE$ 平分 $\angle ACB$，$\therefore \angle ACE = 70^\circ \div 2 = 35^\circ$

在 $\triangle ACD$ 中，$CD \perp AB$，$\therefore \angle ADC = 90^\circ$

$\angle ACD = 180^\circ - \angle A - \angle ADC = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ$

$\angle DCE = \angle ACD - \angle ACE = 50^\circ - 35^\circ = \textbf{15}^\circ$

💡 综合运用角平分线、垂直、内角和等知识，逐层推导。

$\because \triangle ABC \cong \triangle DEF$

$\therefore \angle D = \angle A = 50^\circ$，$\angle E = \angle B = 70^\circ$（全等三角形对应角相等）

$\angle F = \angle C = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$

$DE = AB = 5$cm（全等三角形对应边相等）

💡 全等三角形的对应边相等、对应角相等。关键要确定对应关系。

对应顶点：$A \leftrightarrow C$，$B \leftrightarrow D$，$C \leftrightarrow A$

对应边：$AB \leftrightarrow CD$，$BC \leftrightarrow DA$，$CA \leftrightarrow AC$

对应角：$\angle A \leftrightarrow \angle C$，$\angle B \leftrightarrow \angle D$，$\angle ACB \leftrightarrow \angle CAD$

💡 全等符号 $\cong$ 中字母的书写顺序通常对应了对应关系，$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ 即 $A \to C$，$B \to D$，$C \to A$。

证明：在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ 中，

$\begin{cases}

AB = AD \quad (\text{已知}) \\

\angle BAC = \angle DAC \quad (\text{已知}) \\

AC = AC \quad (\text{公共边})

\end{cases}$

$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ADC$（SAS）

💡 SAS 判定：两边及其夹角对应相等。注意夹角必须是两边的夹角。

证明：在 $\triangle AFD$ 和 $\triangle CEB$ 中，

$\begin{cases}

AE + EF = CF + EF \Rightarrow AF = CE \\

\angle AFD = \angle CEB \quad (\text{已知}) \\

DF = BE \quad (\text{已知})

\end{cases}$

$\therefore \triangle AFD \cong \triangle CEB$（SAS）

💡 注意利用 $AE = CF$ 推出 $AF = CE$（等量加等量仍相等），这是全等证明中常用的线段转化技巧。

证明：$\because AB \perp BF$，$DE \perp BF$

$\therefore \angle B = \angle E = 90^\circ$

在 Rt$\triangle ABC$ 和 Rt$\triangle DEF$ 中，

$\begin{cases}

AB = DE \quad (\text{已知}) \\

BF = EC \Rightarrow BC = EF \quad (\text{等量减等量})

\end{cases}$

$\therefore \text{Rt}\triangle ABC \cong \text{Rt}\triangle DEF$（SAS）

$\therefore AC = DF$（全等三角形对应边相等）

💡 直角三角形全等可用 HL 或 SAS 判定，关键在于找到对应关系。

证明：$\because \angle A = \angle D$，$\angle B = \angle E$

$\therefore \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle D - \angle E = \angle F$

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，

$\begin{cases}

\angle A = \angle D \\

\angle C = \angle F \\

BC = EF

\end{cases}$

$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF$（AAS）

💡 AAS 是"两角及其中一角的对边对应相等"。注意 AAS 与 ASA 的区别：ASA 是两角及其夹边。

等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也是 $50^\circ$

顶角 $= 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = \textbf{80}^\circ$

💡 等边对等角：等腰三角形两个底角相等。

$\because AB = AC$，$AD$ 是底边 $BC$ 上的中线

$\therefore AD$ 也是 $\angle BAC$ 的平分线（三线合一）

$\therefore \angle BAC = 2 \times \angle BAD = 2 \times 25^\circ = \textbf{50}^\circ$

$\because AB = AC$，$\therefore \angle B = \angle C$

$\angle B = (180^\circ - 50^\circ) \div 2 = \textbf{65}^\circ$

💡 "三线合一"是等腰三角形的最重要性质——顶角平分线、底边中线、底边高互相重合。

证明：过点 $E$ 作 $EG \parallel AC$ 交 $BC$ 于点 $G$

$\because AB = AC$，$\therefore \angle B = \angle ACB$

$\because EG \parallel AC$，$\therefore \angle EGB = \angle ACB$

$\therefore \angle B = \angle EGB$，$\therefore BE = EG$（等角对等边）

$\because BE = CD$（已知），$\therefore EG = CD$

$\because EG \parallel AC$，$\therefore \angle GEF = \angle CDF$，$\angle EGF = \angle DCF$

在 $\triangle EGF$ 和 $\triangle DCF$ 中，

$\begin{cases}

\angle GEF = \angle CDF \\

EG = CD \\

\angle EGF = \angle DCF

\end{cases}$

$\therefore \triangle EGF \cong \triangle DCF$（ASA）

$\therefore EF = FD$

💡 通过构造辅助线，将线段相等关系转化为全等三角形问题。

$\because \angle B = \angle C = 70^\circ$

$\therefore \triangle ABC$ 是等腰三角形，$AB = AC$（等角对等边）

💡 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。

证明：在 Rt$\triangle BDC$ 和 Rt$\triangle CEB$ 中，

$\begin{cases}

BD = CE \quad (\text{已知}) \\

BC = CB \quad (\text{公共边})

\end{cases}$

$\therefore \text{Rt}\triangle BDC \cong \text{Rt}\triangle CEB$（HL）

$\therefore \angle DBC = \angle ECB$（全等三角形对应角相等）

$\therefore \triangle ABC$ 是等腰三角形，$AB = AC$（等角对等边）

💡 利用全等三角形证得角相等，再根据"等角对等边"判定等腰三角形。

等边三角形的每个内角都是 $\textbf{60}^\circ$。

因为等边三角形三条边都相等，所以三个角也相等（等边对等角），

设每个角为 $x$，则 $3x = 180^\circ$，$x = 60^\circ$。

💡 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质。

证明：$\because AB = AC$，$\therefore \angle B = \angle C$（等边对等角）

$\because \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$，且 $\angle A = 60^\circ$

$\therefore \angle B + \angle C = 120^\circ$

$\therefore \angle B = \angle C = 60^\circ$

$\therefore \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$

$\therefore \triangle ABC$ 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）

💡 有一个角是 $60^\circ$ 的等腰三角形是等边三角形。

证明：$\because \triangle ABC$ 是等边三角形

$\therefore \angle A = 60^\circ$，$AB = AC$

连接 $DE$，需证 $AD = AE = DE$

由 $AD = CE$，且 $AB = AC$，无法直接推出 $AE$。

过 $D$ 作 $DF \parallel BC$ 交 $AC$ 于 $F$

$\because DF \parallel BC$，$\therefore \angle ADF = \angle B = 60^\circ$，$\angle AFD = \angle C = 60^\circ$

$\therefore \triangle ADF$ 是等边三角形，$AD = AF = DF$

$\because AD = CE$（已知），$\therefore DF = CE$

又 $\angle DFE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ = \angle ECD$

且 $FC$ 公共？不，可以证 $\triangle DFE \cong \triangle ECD$（SAS）...

（思路点拨）取 $AE$ 中点或利用旋转思想，将 $\triangle ABD$ 绕点 $A$ 旋转 $60^\circ$ 可证。

简证：$\because \triangle ABC$ 是等边三角形，$\angle A = 60^\circ$。

以 $AD$ 为边向 $\triangle ABC$ 内部作等边 $\triangle ADF$，连接 $EF$。

可证 $\triangle ADF \cong \triangle CEF$，得 $AE = DE = AD$。

💡 等边三角形中常利用旋转构造全等，或作平行线构造新的等边三角形。

$A(3, 2)$ — 第一象限（$+$，$+$）

$B(-1, 4)$ — 第二象限（$-$，$+$）

$C(-2, -3)$ — 第三象限（$-$，$-$）

$D(5, -1)$ — 第四象限（$+$，$-$）

$E(0, 3)$ — $y$ 轴上

$F(-4, 0)$ — $x$ 轴上

💡 象限符号规律：一（$+$，$+$）、二（$-$，$+$）、三（$-$，$-$）、四（$+$，$-$）。坐标轴上的点不属于任何象限。

第四象限点的符号特征：横坐标 $> 0$，纵坐标 $< 0$

$\begin{cases}

2m+1 > 0 \\

m-3 < 0

\end{cases}$

由 $2m+1 > 0$ 得 $m > -\frac{1}{2}$

由 $m-3 < 0$ 得 $m < 3$

$\therefore -\frac{1}{2} < m < 3$

💡 根据点所在象限的符号特征，列出不等式组求解。

按 $A \to B \to C \to D \to E \to A$ 的顺序连接，组成一个 五边形（轴对称图形，关于 $y$ 轴对称）。

💡 在坐标系中描点作图，要准确找到每个点对应的位置，注意坐标的顺序是 $(x, y)$。

(1) 向右平移 $3$ 个单位：$P'(2+3, -3) = \textbf{(5, -3)}$（横坐标 $+3$，纵坐标不变）

(2) 向左平移 $4$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位：$P''(2-4, -3+2) = \textbf{(-2, -1)}$

💡 左右平移变横坐标（左减右加），上下平移变纵坐标（上加下减）。

关于 $x$ 轴对称：$A_1(1, -2)$（横不变，纵相反）

关于 $y$ 轴对称：$A_2(-1, 2)$（纵不变，横相反）

关于原点对称：$A_3(-1, -2)$（横、纵都相反）

💡 对称规律：关于 $x$ 轴对称——$x$ 不变 $y$ 变号；关于 $y$ 轴对称——$y$ 不变 $x$ 变号；关于原点对称——都变号。

(1) 平移向量：$\vec{v} = (4-2, -2-1) = (2, -3)$

即向右平移 $2$ 个单位，向下平移 $3$ 个单位。

(2) $B' = B + \vec{v} = (-1+2, 3-3) = \textbf{(1, 0)}$

💡 图形平移时，每个点的平移方向和距离都相同，因此可以由一个点的平移推知整个图形的平移。

(1) 关于 $y$ 轴对称（纵坐标不变，横坐标取相反数）：

$A_1(2, 4)$，$B_1(3, 1)$，$C_1(-1, 2)$

(2) 向左平移 $3$ 个单位（横坐标减 $3$，纵坐标不变）：

$A_2(2-3, 4) = \textbf{(-1, 4)}$

$B_2(3-3, 1) = \textbf{(0, 1)}$

$C_2(-1-3, 2) = \textbf{(-4, 2)}$

💡 在直角坐标平面内处理图形的变换时，先对称再平移或先平移再对称，结果可能不同，要按顺序操作。