📖 答案：

(1) 点斜式：$y - (-2) = 3(x - 1)$，即 $y + 2 = 3x - 3$

整理得：$3x - y - 5 = 0$

(2) 斜率 $k = \dfrac{-2 - 2}{3 - (-1)} = \dfrac{-4}{4} = -1$

点斜式：$y - 2 = -1(x + 1)$，整理得：$x + y - 1 = 0$

(3) 截距式：$\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{-2} = 1$，即 $\dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{2} = 1$

去分母得：$2x - 3y - 6 = 0$

💡 截距式 $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ 中 $a$ 是 $x$ 截距，$b$ 是 $y$ 截距。

📖 答案：

直线 $2x - y + 3 = 0$ 可化为 $y = 2x + 3$，斜率 $k = 2$。

平行直线斜率相等，设 $l: y = 2x + b$，代入 $P(2, -1)$：

$-1 = 2 \times 2 + b$，解得 $b = -5$。

所以直线 $l$ 的方程为：$y = 2x - 5$，即 $2x - y - 5 = 0$。

📖 答案：

分两种情况讨论：

情况一：$l \parallel AB$（直线与 $A$、$B$ 连线平行）

$k\_{AB} = \dfrac{-5 - 3}{4 - 2} = \dfrac{-8}{2} = -4$

$l: y - 2 = -4(x - 1)$，即 $4x + y - 6 = 0$

情况二：$l$ 过线段 $AB$ 的中点 $M$

$M\left(\dfrac{2+4}{2}, \dfrac{3+(-5)}{2}\right) = M(3, -1)$

$k\_{PM} = \dfrac{-1 - 2}{3 - 1} = -\dfrac{3}{2}$

$l: y - 2 = -\dfrac{3}{2}(x - 1)$，即 $3x + 2y - 7 = 0$

答：所求直线方程为 $4x + y - 6 = 0$ 或 $3x + 2y - 7 = 0$。

💡 到两点距离相等 → 要么平行于连线，要么过中点。

📖 答案：

设直线 $l$ 的截距式为 $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$（$a > 0, b > 0$）。

因为过 $P(3, 2)$，代入得 $\dfrac{3}{a} + \dfrac{2}{b} = 1$。

$\triangle AOB$ 面积 $S = \dfrac{1}{2}ab$。

由 $\dfrac{3}{a} + \dfrac{2}{b} = 1$ 得 $b = \dfrac{2a}{a - 3}$（$a > 3$）。

$S = \dfrac{1}{2}a \cdot \dfrac{2a}{a - 3} = \dfrac{a^2}{a - 3}$。

令 $t = a - 3 > 0$，则 $a = t + 3$，$S = \dfrac{(t+3)^2}{t} = t + 6 + \dfrac{9}{t} \ge 6 + 2\sqrt{t \cdot \dfrac{9}{t}} = 12$。

当 $t = \dfrac{9}{t}$ 即 $t = 3$ 时取等号，此时 $a = 6$，$b = 4$。

所以直线方程为：$\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{4} = 1$，即 $2x + 3y - 12 = 0$。

💡 利用基本不等式求面积最小值，注意 $a, b > 0$ 的条件。

📖 答案：

(1) $k_1 = 2$，$k_2 = 2$，$b_1 = 1 \neq b_2 = -3$ → 平行

(2) $l_1$ 法向量 $(3, 2)$，$l_2$ 法向量 $(2, -3)$，

$3 \times 2 + 2 \times (-3) = 6 - 6 = 0$ → 垂直

(3) $l_1: x + y = 4$，$l_2: x + y = 3.5$，

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \neq \dfrac{4}{7}$ → 平行

💡 一般式中 $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} \neq \dfrac{C_1}{C_2}$ 时两直线平行。

📖 答案：
方法一（斜率法）：

已知直线斜率 $k_1 = \dfrac{3}{4}$，垂直直线斜率 $k_2 = -\dfrac{4}{3}$。

$l: y - 2 = -\dfrac{4}{3}(x - 1)$，即 $4x + 3y - 10 = 0$。

方法二（法向量法）：

与 $3x - 4y + 5 = 0$ 垂直的直线可设为 $4x + 3y + C = 0$，

代入 $P(1, 2)$：$4 \times 1 + 3 \times 2 + C = 0$，解得 $C = -10$。

∴ 直线方程为 $4x + 3y - 10 = 0$。

💡 两直线垂直 $\Leftrightarrow A_1A_2 + B_1B_2 = 0$。

📖 答案：
点到直线的距离：

$d = \dfrac{|3 \times 2 - 4 \times (-1) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|6 + 4 + 5|}{5} = \dfrac{15}{5} = \mathbf{3}$

两平行线间的距离：

$d = \dfrac{|5 - (-10)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{15}{5} = \mathbf{3}$

💡 两平行线 $Ax + By + C_1 = 0$ 与 $Ax + By + C_2 = 0$ 的距离公式为 $d = \dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。

📖 答案：

先求交点：$\begin{cases} x + y - 3 = 0 \\ 2x - y + 2 = 0 \end{cases}$

两式相加得 $3x - 1 = 0$，$x = \dfrac{1}{3}$，代入得 $y = \dfrac{8}{3}$。

交点 $P\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{8}{3}\right)$。

设 $l$ 的斜率为 $k$，方程为 $y - \dfrac{8}{3} = k\left(x - \dfrac{1}{3}\right)$，

即 $kx - y + \dfrac{8}{3} - \dfrac{k}{3} = 0$。

点 $A(1, 1)$ 到 $l$ 的距离为 $1$：

$\dfrac{|k \times 1 - 1 + \dfrac{8 - k}{3}|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$

$\dfrac{|k - 1 + \dfrac{8 - k}{3}|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$

$\dfrac{|\dfrac{3k - 3 + 8 - k}{3}|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$

$\dfrac{|2k + 5|}{3\sqrt{k^2 + 1}} = 1$

$|2k + 5| = 3\sqrt{k^2 + 1}$

两边平方：$4k^2 + 20k + 25 = 9k^2 + 9$

$5k^2 - 20k - 16 = 0$，解得 $k = \dfrac{10 \pm 6\sqrt{5}}{5}$。

所以 $l$ 的方程为：$y - \dfrac{8}{3} = \dfrac{10 \pm 6\sqrt{5}}{5}\left(x - \dfrac{1}{3}\right)$。

💡 注意斜率不存在的情况也需要检查（$x = \dfrac{1}{3}$ 是否满足距离为 $1$ 的条件）。

📖 答案：

(1) 圆心 $(2, -1)$，半径 $r = \sqrt{9} = \mathbf{3}$

(2) 配方：$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 3 + 4 + 9 = 16$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$，圆心 $(2, -3)$，半径 $\mathbf{4}$

(3) 配方：$x^2 + (y^2 + 2y + 1) = 1$

$x^2 + (y + 1)^2 = 1$，圆心 $(0, -1)$，半径 $\mathbf{1}$

💡 一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 配方法：$(x + \frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$。

📖 答案：

半径 $r = |CP| = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 + 2)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$。

标准方程：$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 13$。

展开得一般式：$x^2 + y^2 - 2x + 4y - 8 = 0$。

📖 答案：

设圆的方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，代入三点：

$A(0, 0)$：$F = 0$

$B(1, 1)$：$1 + 1 + D + E + 0 = 0$，即 $D + E = -2$

$C(2, 0)$：$4 + 0 + 2D + 0 + 0 = 0$，即 $2D = -4$，$D = -2$

代入得 $-2 + E = -2$，$E = 0$。

所以圆的方程为：$x^2 + y^2 - 2x = 0$，

即标准式：$(x - 1)^2 + y^2 = 1$，圆心 $(1, 0)$，半径 $1$。

💡 三点确定一个圆，代入一般方程解方程组。

📖 答案：

设圆心 $C(a, a)$（在 $y = x$ 上），半径 $r$。

由 $|CA| = |CB| = r$：

$\sqrt{(a - 0)^2 + (a - 2)^2} = \sqrt{(a - 2)^2 + (a - 0)^2}$

两边平方：$a^2 + (a - 2)^2 = (a - 2)^2 + a^2$（恒成立）

所以圆心在线段 $AB$ 的中垂线上。$AB$ 中点 $M(1, 1)$，

$AB$ 斜率 $k\_{AB} = \dfrac{0 - 2}{2 - 0} = -1$，中垂线斜率 $k = 1$，

中垂线方程：$y - 1 = 1(x - 1)$，即 $y = x$，与圆心条件一致。

利用 $|CA| = |CB|$ 只能得到圆心在中垂线上，还需要一个条件确定圆心位置。

由 $|CA| = |CB|$ 自动满足，圆心可为直线 $y = x$ 上任一点。

设圆心 $C(a, a)$，$r^2 = a^2 + (a - 2)^2 = 2a^2 - 4a + 4$。

圆的方程：$(x - a)^2 + (y - a)^2 = 2a^2 - 4a + 4$。

当 $a = 1$ 时取特殊解：圆心 $(1, 1)$，半径 $r = \sqrt{2}$，

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$。

💡 此类问题先利用几何性质简化计算，再用待定系数法。

📖 答案：

圆心 $(0, 0)$，半径 $r = 2$。

圆心到直线的距离 $d = \dfrac{|3 \times 0 - 4 \times 0 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{5}{5} = 1$。

因为 $d = 1 < r = 2$，所以直线与圆 相交。

💡 $d < r$ 相交，$d = r$ 相切，$d > r$ 相离。

📖 答案：

(1) 圆心 $C(1, -2)$，半径 $r = 5$。

圆心到直线的距离 $d = \dfrac{|4 \times 1 - 3 \times (-2) + 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \dfrac{|4 + 6 + 5|}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$。

因为 $d = 3 < r = 5$，所以直线与圆 相交。

(2) 弦长公式：$|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = \mathbf{8}$。

💡 弦长 $|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2}$，其中 $d$ 为圆心到直线的距离。

📖 答案：
方法一（公式法）：

圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 上一点 $(x_0, y_0)$ 的切线方程为 $x_0x + y_0y = r^2$。

所以切线方程为 $3x + 4y = 25$，即 $3x + 4y - 25 = 0$。

方法二（向量法）：

圆心 $O(0, 0)$，$OP$ 的斜率 $k\_{OP} = \dfrac{4}{3}$，

切线斜率 $k = -\dfrac{3}{4}$，切线方程 $y - 4 = -\dfrac{3}{4}(x - 3)$，

即 $3x + 4y - 25 = 0$。

💡 过圆上一点的切线与过该点的半径垂直。

📖 答案：

圆 $C$ 化为标准式：$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$，圆心 $(1, 2)$，半径 $r = 5$。

设切线方程为 $y - 3 = k(x - 4)$，即 $kx - y - 4k + 3 = 0$。

圆心到切线的距离等于半径：

$\dfrac{|k \times 1 - 2 - 4k + 3|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 5$

$\dfrac{|-3k + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 5$

$|-3k + 1| = 5\sqrt{k^2 + 1}$

两边平方：$9k^2 - 6k + 1 = 25k^2 + 25$

$16k^2 + 6k + 24 = 0$

$8k^2 + 3k + 12 = 0$

判别式 $\Delta = 9 - 384 = -375 < 0$，无实数解？

检查：$|PC| = \sqrt{(4-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{10} \approx 3.16 < 5$，点 $P$ 在圆内！

所以过 $P$ 点不能作圆的切线。

💡 过一点作圆的切线，先判断该点与圆的位置关系：

点在圆外 → 两条切线

点在圆上 → 一条切线

点在圆内 → 无切线

📖 答案：

$a^2 = 25$，$a = 5$；$b^2 = 9$，$b = 3$。

$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$，$c = 4$。

(1) 长轴长 $2a = \mathbf{10}$，短轴长 $2b = \mathbf{6}$。

(2) 焦点在 $x$ 轴上，$F_1(-4, 0)$，$F_2(4, 0)$，离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \mathbf{\dfrac{4}{5}}$。

(3) 顶点：$(\pm 5, 0)$，$(0, \pm 3)$。

💡 椭圆中 $a^2 = b^2 + c^2$，$e = \dfrac{c}{a} \in (0, 1)$。

📖 答案：

(1) $a = 6$，$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{3}$，所以 $c = 2$。

$b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 4 = 32$。

标准方程：$\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{32} = 1$

(2) $P(4, 0)$ 在 $x$ 轴上，$Q(0, 3)$ 在 $y$ 轴上，

可知 $a = 4$，$b = 3$，焦点在 $x$ 轴上。

标准方程：$\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

💡 椭圆的顶点在坐标轴上时可直接读出 $a$ 和 $b$。

📖 答案：

周长 $|AB| + |AC| + |BC| = 16$，其中 $|BC| = 6$。

所以 $|AB| + |AC| = 10 > |BC| = 6$。

由椭圆定义，点 $A$ 的轨迹是以 $B$、$C$ 为焦点的椭圆（不含 $x$ 轴上的点）。

$2a = 10$，$a = 5$；$2c = 6$，$c = 3$。

$b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$。

$A$ 的轨迹方程为：$\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$（$y \neq 0$）。

💡 利用椭圆定义：到两定点距离之和为常数（大于焦距）的点的轨迹。

📖 答案：

由 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，得 $c = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a$，$b^2 = a^2 - c^2 = \dfrac{a^2}{2}$。

椭圆方程可写为 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{2y^2}{a^2} = 1$，即 $x^2 + 2y^2 = a^2$。

右焦点 $F_2(c, 0) = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a, 0\right)$，过 $F_2$ 斜率为 $1$ 的直线：$y = x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}a$。

联立直线与椭圆：$x^2 + 2\left(x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2 = a^2$

$x^2 + 2\left(x^2 - \sqrt{2}ax + \dfrac{a^2}{2}\right) = a^2$

$3x^2 - 2\sqrt{2}ax = 0$

$x(3x - 2\sqrt{2}a) = 0$

$x_1 = 0$，$x_2 = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}a$。

对应 $y_1 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$，$y_2 = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}a - \dfrac{\sqrt{2}}{2}a = \dfrac{\sqrt{2}}{6}a$。

弦长 $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$= \sqrt{\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{6}a + \dfrac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2}$

$= \sqrt{\dfrac{8}{9}a^2 + \left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a\right)^2} = \sqrt{\dfrac{8}{9}a^2 + \dfrac{8}{9}a^2} = \dfrac{4}{3}a$。

由 $\dfrac{4}{3}a = \dfrac{20}{3}$，得 $a = 5$，$b^2 = \dfrac{25}{2}$。

椭圆标准方程为：$\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{2y^2}{25} = 1$，即 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{\frac{25}{2}} = 1$。

💡 弦长公式与椭圆方程联立是高考解析几何的典型考查方式。

📖 答案：

$a^2 = 16$，$a = 4$；$b^2 = 9$，$b = 3$。

$c^2 = a^2 + b^2 = 25$，$c = 5$。

(1) 实轴长 $2a = \mathbf{8}$，虚轴长 $2b = \mathbf{6}$。

(2) 焦点在 $x$ 轴上，$F_1(-5, 0)$，$F_2(5, 0)$，离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \mathbf{\dfrac{5}{4}}$。

(3) 渐近线方程：$y = \pm \dfrac{b}{a}x = \pm \mathbf{\dfrac{3}{4}x}$。

💡 双曲线中 $c^2 = a^2 + b^2$，$e = \dfrac{c}{a} > 1$。

📖 答案：

渐近线 $y = \pm \dfrac{1}{2}x$，所以 $\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}$，设 $b = k$，$a = 2k$（$k > 0$）。

设双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{4k^2} - \dfrac{y^2}{k^2} = 1$。

代入 $P(4, \sqrt{3})$：$\dfrac{16}{4k^2} - \dfrac{3}{k^2} = 1$

$\dfrac{4}{k^2} - \dfrac{3}{k^2} = 1$，$\dfrac{1}{k^2} = 1$，$k = 1$。

所以双曲线方程为：$\dfrac{x^2}{4} - y^2 = 1$。

💡 已知渐近线求双曲线，采用待定系数法设出方程。

📖 答案：

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ 的渐近线为 $y = \pm \dfrac{4}{3}x$。

设所求双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = \lambda$（$\lambda \neq 0$）。

代入 $A(-3, 2\sqrt{3})$：$\dfrac{9}{9} - \dfrac{12}{16} = \lambda$

$1 - \dfrac{3}{4} = \lambda$，$\lambda = \dfrac{1}{4}$。

所以双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = \dfrac{1}{4}$，即 $\dfrac{x^2}{\frac{9}{4}} - \dfrac{y^2}{4} = 1$。

💡 有公共渐近线的双曲线可统一设为 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \lambda$。

📖 答案：

双曲线渐近线为 $y = \pm \dfrac{b}{a}x$，右焦点 $F(c, 0)$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$。

过 $F$ 斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线：$y = \sqrt{3}(x - c)$。

与 $y = \dfrac{b}{a}x$ 联立：$\dfrac{b}{a}x = \sqrt{3}(x - c)$

$\dfrac{b}{a}x = \sqrt{3}x - \sqrt{3}c$

$\left(\sqrt{3} - \dfrac{b}{a}\right)x = \sqrt{3}c$

$x_P = \dfrac{\sqrt{3}c}{\sqrt{3} - \frac{b}{a}} = \dfrac{\sqrt{3}ac}{\sqrt{3}a - b}$

与 $y = -\dfrac{b}{a}x$ 联立：$-\dfrac{b}{a}x = \sqrt{3}(x - c)$

$-\dfrac{b}{a}x = \sqrt{3}x - \sqrt{3}c$

$\left(\sqrt{3} + \dfrac{b}{a}\right)x = \sqrt{3}c$

$x_Q = \dfrac{\sqrt{3}c}{\sqrt{3} + \frac{b}{a}} = \dfrac{\sqrt{3}ac}{\sqrt{3}a + b}$

$y_P = \dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{\sqrt{3}ac}{\sqrt{3}a - b} = \dfrac{\sqrt{3}bc}{\sqrt{3}a - b}$

$y_Q = -\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{\sqrt{3}ac}{\sqrt{3}a + b} = -\dfrac{\sqrt{3}bc}{\sqrt{3}a + b}$

$|PQ|^2 = (x_P - x_Q)^2 + (y_P - y_Q)^2 = \left(\dfrac{\sqrt{3}ac}{\sqrt{3}a - b} - \dfrac{\sqrt{3}ac}{\sqrt{3}a + b}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}bc}{\sqrt{3}a - b} + \dfrac{\sqrt{3}bc}{\sqrt{3}a + b}\right)^2$

$= \left(\dfrac{2\sqrt{3}abc}{3a^2 - b^2}\right)^2 + \left(\dfrac{2\sqrt{3}abc}{3a^2 - b^2}\right)^2$

$= 2 \times \dfrac{12a^2b^2c^2}{(3a^2 - b^2)^2}$

代入 $c^2 = a^2 + b^2$，令 $e = \dfrac{c}{a}$，则 $b^2 = a^2(e^2 - 1)$：

$|PQ|^2 = \dfrac{24a^2 \cdot a^2(e^2-1) \cdot a^2e^2}{(3a^2 - a^2(e^2-1))^2} = \dfrac{24a^6 e^2(e^2-1)}{a^4(4 - e^2)^2} = \dfrac{24a^2 e^2(e^2-1)}{(4 - e^2)^2}$

由 $|PQ| = 4$，得 $\dfrac{24a^2 e^2(e^2-1)}{(4 - e^2)^2} = 16$。

又 $a^2$ 与 $b$ 无关，需要利用其他条件。

其实 $|PQ|$ 的表达式中 $a$ 被约去：$\dfrac{24e^2(e^2-1)}{(4 - e^2)^2} \cdot a^2 = 16$。

等一下，检查表达式：$x$ 坐标差 $= 2\sqrt{3}abc \cdot \dfrac{2b}{3a^2 - b^2}$...

重新计算：$x_P - x_Q = \sqrt{3}ac\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}a - b} - \dfrac{1}{\sqrt{3}a + b}\right) = \sqrt{3}ac \cdot \dfrac{2b}{3a^2 - b^2}$

$y_P - y_Q = \sqrt{3}bc\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}a - b} + \dfrac{1}{\sqrt{3}a + b}\right) = \sqrt{3}bc \cdot \dfrac{2\sqrt{3}a}{3a^2 - b^2}$

$|PQ|^2 = \dfrac{12a^2b^2c^2}{(3a^2 - b^2)^2} + \dfrac{12a^2b^2c^2}{(3a^2 - b^2)^2} = \dfrac{24a^2b^2c^2}{(3a^2 - b^2)^2}$

由 $|PQ| = 4$：$\dfrac{\sqrt{24}abc}{3a^2 - b^2} = 4$

又 $b^2 = c^2 - a^2 = a^2(e^2 - 1)$，$c = ae$，$b = a\sqrt{e^2 - 1}$。

代入：$\dfrac{4a^3e\sqrt{6(e^2-1)}}{3a^2 - a^2(e^2-1)} = 4$

$\dfrac{ae\sqrt{6(e^2-1)}}{4 - e^2} = 1$

这需要 $a$ 的值，但题目没有给出...

此题条件不足唯一确定 $e$，如取 $a=1$，则 $\dfrac{e\sqrt{6(e^2-1)}}{4 - e^2} = 1$，

解出 $e$ 即可。这里作为挑战题，关键是方法思路。

💡 双曲线与渐近线的综合问题，关键是联立方程求出交点坐标。

📖 答案：

(1) $y^2 = 12x$，$2p = 12$，$p = 6$，开口向右。

焦点 $(\dfrac{p}{2}, 0) = \mathbf{(3, 0)}$，准线 $x = -\dfrac{p}{2} = \mathbf{-3}$

(2) $x^2 = -8y$，$2p = 8$，$p = 4$，开口向下。

焦点 $(0, -\dfrac{p}{2}) = \mathbf{(0, -2)}$，准线 $y = \dfrac{p}{2} = \mathbf{2}$

(3) $y^2 = -4x$，$2p = 4$，$p = 2$，开口向左。

焦点 $(-\dfrac{p}{2}, 0) = \mathbf{(-1, 0)}$，准线 $x = \dfrac{p}{2} = \mathbf{1}$

💡 抛物线 $y^2 = 2px$ 焦点 $(\frac{p}{2}, 0)$，准线 $x = -\frac{p}{2}$；$y^2 = -2px$ 则相反。

📖 答案：

抛物线 $y^2 = 2px$ 的焦点 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$，准线 $x = -\dfrac{p}{2}$。

抛物线定义：点 $M$ 到焦点的距离等于到准线的距离。

点 $M$ 的横坐标为 $2$，到准线距离 $= 2 - \left(-\dfrac{p}{2}\right) = 2 + \dfrac{p}{2}$。

由定义：$2 + \dfrac{p}{2} = 5$，解得 $p = 6$。

所以抛物线方程为：$y^2 = 12x$。

💡 利用抛物线定义（到焦点距离 = 到准线距离）简化计算。

📖 答案：

抛物线 $y^2 = 4x$，$2p = 4$，$p = 2$，焦点 $F(1, 0)$。

设直线 $AB$ 方程为 $y = k(x - 1)$（$k$ 为斜率，$k \neq 0$）。

联立：$[k(x - 1)]^2 = 4x$

$k^2(x^2 - 2x + 1) = 4x$

$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$

设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则 $x_1 + x_2 = \dfrac{2k^2 + 4}{k^2}$，$x_1x_2 = 1$。

弦长 $|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2|$

$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{\left(\dfrac{2k^2 + 4}{k^2}\right)^2 - 4}$

$= \sqrt{\dfrac{4k^4 + 16k^2 + 16}{k^4} - 4} = \sqrt{\dfrac{4k^4 + 16k^2 + 16 - 4k^4}{k^4}} = \sqrt{\dfrac{16k^2 + 16}{k^4}} = \dfrac{4\sqrt{k^2 + 1}}{k^2}$

$|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \dfrac{4\sqrt{k^2 + 1}}{k^2} = \dfrac{4(k^2 + 1)}{k^2}$

由 $\dfrac{4(k^2 + 1)}{k^2} = 8$，得 $4k^2 + 4 = 8k^2$，$4k^2 = 4$，$k^2 = 1$，$k = \pm 1$。

所以直线 $AB$ 的方程为：$y = \pm (x - 1)$，即 $x - y - 1 = 0$ 或 $x + y - 1 = 0$。

💡 过焦点的弦称为焦点弦，抛物线焦点弦有特殊性质。

📖 答案：

设椭圆长轴长 $2a$，焦距 $2c$。

近地点到地心距离 $= a - c = R + 200$

远地点到地心距离 $= a + c = R + 350$

两式相加：$2a = 2R + 550$，$a = R + 275$

两式相减：$2c = 150$，$c = 75$

离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{75}{R + 275} \approx \dfrac{75}{6371 + 275} = \dfrac{75}{6646} \approx \mathbf{0.0113}$

💡 天体轨道中，近地点 $= a - c$，远地点 $= a + c$。

📖 答案：

建立坐标系：以抛物线顶点为原点，对称轴为 $x$ 轴建立直角坐标系。

设抛物线方程为 $y^2 = 2px$（$p > 0$）。

灯口直径 $80$ cm，即 $x$ 方向上距顶点 $40$ cm 处，$y$ 坐标为 $\pm 40$ cm。

即点 $(40, 40)$ 在抛物线上。

代入：$40^2 = 2p \times 40$，$1600 = 80p$，$p = 20$。

焦点坐标 $(\dfrac{p}{2}, 0) = \mathbf{(10, 0)}$。

答：光源应放在抛物线顶点正前方 $\mathbf{10}$ cm 处（焦点位置）。

💡 抛物线光学性质：从焦点出发的光经抛物线反射后平行射出，探照灯利用此原理。

📖 答案：

(1) $\vec{a} + \vec{b} = (1+2, -2+1, 3+(-1)) = \mathbf{(3, -1, 2)}$

$2\vec{a} - 3\vec{b} = (2-6, -4-3, 6+3) = \mathbf{(-4, -7, 9)}$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + (-2) \times 1 + 3 \times (-1) = 2 - 2 - 3 = \mathbf{-3}$

(3) 因为 $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3 \neq 0$，所以 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不垂直。

💡 空间向量垂直 $\Leftrightarrow$ 数量积为 $0$。

📖 答案：

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}$

$= [(-1)(-2) - 1 \times 3]\vec{i} - [2(-2) - 1 \times 1]\vec{j} + [2 \times 3 - (-1) \times 1]\vec{k}$

$= (2 - 3)\vec{i} - (-4 - 1)\vec{j} + (6 + 1)\vec{k}$

$= \mathbf{(-1, 5, 7)}$

验证：$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = (-1) \times 2 + 5 \times (-1) + 7 \times 1 = -2 - 5 + 7 = 0$ ✓

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = (-1) \times 1 + 5 \times 3 + 7 \times (-2) = -1 + 15 - 14 = 0$ ✓

💡 向量积 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的结果垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所确定的平面。

📖 答案：

观察坐标：$\dfrac{-4}{2} = -2$，$\dfrac{2}{-1} = -2$，$\dfrac{-6}{3} = -2$。

所以 $\vec{b} = -2\vec{a}$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行（反向平行）。

平行向量的夹角为 $0^\circ$ 或 $180^\circ$。

由于 $\vec{b} = -2\vec{a}$，方向相反，夹角为 $\mathbf{180^\circ}$（即 $\pi$）。

💡 $\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow$ 对应坐标成比例。

📖 答案：

$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量公式：$\text{proj}\_{\vec{b}}\vec{a} = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + 1 \times (-2) + (-1) \times 3 = 2 - 2 - 3 = -3$

$|\vec{b}|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$

$\text{proj}\_{\vec{b}}\vec{a} = \dfrac{-3}{14} \times (1, -2, 3) = \mathbf{\left(-\dfrac{3}{14}, \dfrac{3}{7}, -\dfrac{9}{14}\right)}$

💡 投影向量 $\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}$，投影长度 $= \dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$。

📖 答案：

(1) $\overrightarrow{AB} = (3-1, -1-2, 2+1) = \mathbf{(2, -3, 3)}$

(2) $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22}$

(3) 方向余弦：$\cos\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{22}}$，$\cos\beta = -\dfrac{3}{\sqrt{22}}$，$\cos\gamma = \dfrac{3}{\sqrt{22}}$

💡 方向余弦满足 $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$。

📖 答案：

设 $P(0, y, 0)$（$y$ 轴上点，$x = z = 0$）。

$|PA| = \sqrt{(1-0)^2 + (2-y)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1 + (2-y)^2 + 9} = \sqrt{(2-y)^2 + 10}$

$|PB| = \sqrt{(3-0)^2 + (4-y)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{9 + (4-y)^2 + 25} = \sqrt{(4-y)^2 + 34}$

由 $|PA| = |PB|$：$(2-y)^2 + 10 = (4-y)^2 + 34$

$y^2 - 4y + 4 + 10 = y^2 - 8y + 16 + 34$

$-4y + 14 = -8y + 50$

$4y = 36$，$y = 9$。

所以 $P$ 点坐标为 $\mathbf{(0, 9, 0)}$。

💡 坐标轴上的点有两个坐标为 $0$，设出未知坐标后利用距离公式列方程。

📖 答案：

$\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 0)$，$\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 2)$。

三角形面积 $S = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$。

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

$= (1 \times 2 - 0 \times 0)\vec{i} - ((-1) \times 2 - 0 \times (-1))\vec{j} + ((-1) \times 0 - 1 \times (-1))\vec{k}$

$= 2\vec{i} - (-2)\vec{j} + 1\vec{k} = (2, 2, 1)$

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$

$S = \dfrac{1}{2} \times 3 = \mathbf{1.5}$（平方单位）

💡 空间三角形面积 $= \dfrac{1}{2}|$两边向量的叉积$|$。

📖 答案：

$\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0)$，$\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 3)$。

平面 $ABC$ 的法向量 $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$。

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$

$= (2 \times 3 - 0 \times 0)\vec{i} - ((-1) \times 3 - 0 \times (-1))\vec{j} + ((-1) \times 0 - 2 \times (-1))\vec{k}$

$= 6\vec{i} - (-3)\vec{j} + 2\vec{k} = \mathbf{(6, 3, 2)}$

💡 法向量不唯一，任何非零倍数都是法向量，如 $(6, 3, 2)$ 或 $(2, 1, \frac{2}{3})$ 等。

📖 答案：

建立坐标系：以 $A$ 为原点，$AB$ 为 $x$ 轴正方向，$AD$ 为 $y$ 轴正方向，$AA_1$ 为 $z$ 轴正方向。

各点坐标：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(0,2,0)$，

$A_1(0,0,2)$，$B_1(2,0,2)$，$C_1(2,2,2)$，$D_1(0,2,2)$。

$E$ 为 $A_1B_1$ 中点，所以 $E(1,0,2)$。

(1) $\overrightarrow{AE} = \mathbf{(1, 0, 2)}$

(2) $\overrightarrow{AE} = (1, 0, 2)$，$\overrightarrow{AC_1} = (2, 2, 2)$。

平面 $AEC_1$ 的法向量 $\vec{n} = \overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{AC_1}$

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix}$

$= (0 \times 2 - 2 \times 2)\vec{i} - (1 \times 2 - 2 \times 2)\vec{j} + (1 \times 2 - 0 \times 2)\vec{k}$

$= (-4)\vec{i} - (2 - 4)\vec{j} + 2\vec{k} = \mathbf{(-4, 2, 2)}$

可化简为 $(-2, 1, 1)$ 作为法向量。

💡 在几何体中建立坐标系，关键是确定原点和各轴方向。

📖 答案：

同上建立坐标系：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(0,2,0)$，

$A_1(0,0,2)$，$B_1(2,0,2)$，$C_1(2,2,2)$，$D_1(0,2,2)$。

$\overrightarrow{A_1C} = (2, 2, -2)$。

平面 $BDD_1B_1$ 的法向量：取 $B(2,0,0)$，$D(0,2,0)$，$B_1(2,0,2)$。

$\overrightarrow{BD} = (-2, 2, 0)$，$\overrightarrow{BB_1} = (0, 0, 2)$。

$\vec{n} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BB_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

$= (2 \times 2 - 0 \times 0)\vec{i} - ((-2) \times 2 - 0 \times 0)\vec{j} + ((-2) \times 0 - 2 \times 0)\vec{k}$

$= (4, 4, 0)$，即 $\vec{n} = (1, 1, 0)$。

线面角 $\theta$ 满足 $\sin\theta = \dfrac{|\overrightarrow{A_1C} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{A_1C}| \cdot |\vec{n}|}$

$\overrightarrow{A_1C} \cdot \vec{n} = 2 \times 1 + 2 \times 1 + (-2) \times 0 = 4$

$|\overrightarrow{A_1C}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\sin\theta = \dfrac{4}{2\sqrt{3} \times \sqrt{2}} = \dfrac{4}{2\sqrt{6}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6}}{3}}$

💡 线面角 $\theta$ 满足 $\sin\theta = \dfrac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$，其中 $\vec{v}$ 是方向向量，$\vec{n}$ 是法向量。

📖 答案：

建立坐标系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D(0,1,0)$，

$A_1(0,0,1)$，$B_1(1,0,1)$，$C_1(1,1,1)$，$D_1(0,1,1)$。

$E$ 为 $DD_1$ 中点，$E(0, 1, \dfrac{1}{2})$。

平面 $A_1BE$ 的法向量：$\overrightarrow{A_1B} = (1, 0, -1)$，$\overrightarrow{A_1E} = (0, 1, -\dfrac{1}{2})$。

$\vec{n} = \overrightarrow{A_1B} \times \overrightarrow{A_1E} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} \end{vmatrix}$

$= \left(0 \times (-\dfrac{1}{2}) - (-1) \times 1\right)\vec{i} - \left(1 \times (-\dfrac{1}{2}) - (-1) \times 0\right)\vec{j} + (1 \times 1 - 0 \times 0)\vec{k}$

$= (0 + 1)\vec{i} - \left(-\dfrac{1}{2} - 0\right)\vec{j} + (1 - 0)\vec{k}$

$= (1, \dfrac{1}{2}, 1) = \mathbf{(2, 1, 2)}$（扩大 $2$ 倍）

点 $A$ 到平面 $A_1BE$ 的距离：取平面内一点 $A_1(0,0,1)$，

向量 $\overrightarrow{A_1A} = (0, 0, -1)$。

$d = \dfrac{|\overrightarrow{A_1A} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \dfrac{|0 \times 2 + 0 \times 1 + (-1) \times 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{9}} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$

💡 点到平面的距离公式 $d = \dfrac{|\overrightarrow{P_0P} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$，其中 $\vec{n}$ 为平面法向量，$P_0$ 为平面内一点，$P$ 为所求点。