高等数学（下）- 知识点整理

> 教材：同济大学《高等数学》第八版 下册

第8章 向量代数与空间解析几何

8.1 向量及其线性运算 ⭐

基本概念

坐标表示

设 $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$，则：

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$

方向余弦：

$$\cos\alpha = \frac{a_x}{|\vec{a}|},\quad \cos\beta = \frac{a_y}{|\vec{a}|},\quad \cos\gamma = \frac{a_z}{|\vec{a}|}$$

满足 $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

线性运算

8.2 数量积、向量积、混合积 ⭐⭐

数量积（点积）

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$

向量积（叉积）

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

a_x & a_y & a_z \\

b_x & b_y & b_z

\end{vmatrix}$$

混合积

$$(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix}

a_x & a_y & a_z \\

b_x & b_y & b_z \\

c_x & c_y & c_z

\end{vmatrix}$$

8.3 平面及其方程 ⭐⭐

点法式方程

过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，法向量 $\vec{n} = (A,B,C)$：

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$

一般式方程

$$Ax + By + Cz + D = 0$$

其中 $\vec{n} = (A,B,C)$ 为法向量。

截距式方程

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$

其中 $a,b,c$ 分别为平面在 $x,y,z$ 轴上的截距。

两平面夹角

两平面法向量 $\vec{n}_1,\vec{n}_2$ 的夹角 $\theta$：

$$\cos\theta = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$$

点到平面的距离

点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距离：

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

8.4 空间直线及其方程 ⭐⭐

对称式（点向式）方程

过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量 $\vec{s} = (m,n,p)$：

$$\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}$$

参数式方程

$$\begin{cases}

x = x_0 + mt \\

y = y_0 + nt \\

z = z_0 + pt

\end{cases}$$

一般式方程（两平面交线）

$$\begin{cases}

A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\

A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0

\end{cases}$$

两直线夹角

方向向量 $\vec{s}_1,\vec{s}_2$ 的夹角 $\theta$：

$$\cos\theta = \frac{|m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2 + n_1^2 + p_1^2}\sqrt{m_2^2 + n_2^2 + p_2^2}}$$

直线与平面夹角

$$\sin\varphi = \frac{|Am + Bn + Cp|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\sqrt{m^2 + n^2 + p^2}}$$

8.5 曲面与空间曲线 ⭐⭐

球面

球心在 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，半径为 $R$：

$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$

旋转曲面

$yOz$ 平面上的曲线 $f(y,z) = 0$ 绕 $z$ 轴旋转一周：

$$f(\pm\sqrt{x^2 + y^2},\,z) = 0$$

柱面

空间曲线的一般方程

$$\begin{cases}

F(x,y,z) = 0 \\

G(x,y,z) = 0

\end{cases}$$

空间曲线的参数方程

$$\begin{cases}

x = x(t) \\

y = y(t) \\

z = z(t)

\end{cases}$$

第9章 多元函数微分法及其应用

9.1 多元函数的基本概念 ⭐

二元函数

$$z = f(x,y),\quad (x,y) \in D \subset \mathbb{R}^2$$

$D$ 为定义域。

极限

$$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = A$$

> 注意：二元函数极限要求 $(x,y)$ 以任意方式趋近 $(x_0,y_0)$ 时极限都存在且相等。若沿不同路径得到不同极限值，则极限不存在。

连续

若 $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$，则 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续。

9.2 偏导数 ⭐⭐

定义

$$f_x(x_0,y_0) = \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

$$f_y(x_0,y_0) = \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$$

高阶偏导数

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),\quad

\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$$

> 定理：若二阶混合偏导数 $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ 和 $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$ 连续，则它们相等。

9.3 全微分 ⭐⭐

定义

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy = f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy$$

可微的条件

> 定理：若 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，则 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微。

全微分与连续、偏导的关系

$$可微 \Rightarrow 连续,\quad 可微 \Rightarrow 偏导存在$$

偏导存在 $\nRightarrow$ 可微，连续 $\nRightarrow$ 偏导存在

9.4 复合函数求导（链式法则）⭐⭐⭐

设 $z = f(u,v)$，$u = u(x,y)$，$v = v(x,y)$，则：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}$$

全导数

若 $z = f(u,v,w)$，$u = u(t)$，$v = v(t)$，$w = w(t)$，则：

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{dv}{dt} + \frac{\partial f}{\partial w}\frac{dw}{dt}$$

9.5 隐函数求导 ⭐⭐⭐

隐函数存在定理

> 定理：若 $F(x,y,z) = 0$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的某邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0,z_0) = 0$，$F_z(x_0,y_0,z_0) \neq 0$，则方程 $F(x,y,z) = 0$ 在该邻域内唯一确定隐函数 $z = z(x,y)$。

隐函数求导公式

由 $F(x,y,z) = 0$ 确定的 $z = z(x,y)$：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

由方程组 $\begin{cases} F(x,y,u,v) = 0 \\ G(x,y,u,v) = 0 \end{cases}$ 确定的隐函数 $u = u(x,y), v = v(x,y)$，通过对方程组两边求偏导解出。

9.6 方向导数与梯度 ⭐⭐⭐

方向导数

函数 $f(x,y)$ 沿方向 $\vec{l} = (\cos\alpha, \cos\beta)$ 的方向导数：

$$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta$$

三元函数 $f(x,y,z)$ 沿方向 $\vec{l} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$：

$$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial f}{\partial z}\cos\gamma$$

梯度

$$\text{grad}\,f(x,y) = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$

$$\text{grad}\,f(x,y,z) = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\right)$$

> 关系：方向导数的最大值等于梯度的模 $|\nabla f|$，且方向为梯度方向。

9.7 几何应用 ⭐⭐

空间曲线的切线与法平面

曲线 $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ 在 $t = t_0$ 处：

曲面的切平面与法线

曲面 $F(x,y,z) = 0$ 在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 处：

9.8 多元函数的极值 ⭐⭐⭐

无条件极值

> 必要条件：若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处取极值且可偏导，则 $f_x(x_0,y_0) = f_y(x_0,y_0) = 0$（驻点）。

> 充分条件：设 $f(x,y)$ 在驻点 $(x_0,y_0)$ 的邻域内有二阶连续偏导数，令：

> $$A = f_{xx},\quad B = f_{xy},\quad C = f_{yy}$$

> $\Delta = AC - B^2$，则：

> - $\Delta > 0$ 且 $A > 0$：极小值

> - $\Delta > 0$ 且 $A < 0$：极大值

> - $\Delta < 0$：不是极值（鞍点）

> - $\Delta = 0$：需进一步判定

条件极值——拉格朗日乘数法 ⭐⭐⭐

求 $z = f(x,y)$ 在约束条件 $\varphi(x,y) = 0$ 下的极值：

$$\begin{cases}

L_x = f_x + \lambda\varphi_x = 0 \\

L_y = f_y + \lambda\varphi_y = 0 \\

L_\lambda = \varphi(x,y) = 0

\end{cases}$$

推广到多条件：$L(x,y,\lambda,\mu) = f(x,y) + \lambda\varphi(x,y) + \mu\psi(x,y)$

第10章 重积分

10.1 二重积分的概念与性质 ⭐

定义

$$\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$$

其中 $d\sigma$ 为面积微元。

几何意义

当 $f(x,y) \ge 0$ 时，$\displaystyle\iint_D f(x,y)\,d\sigma$ 表示以 $D$ 为底，$z = f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体体积。

性质

10.2 二重积分的计算 ⭐⭐⭐

直角坐标

X-型区域（$a \le x \le b,\; \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x)$）：

$$\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy$$

Y-型区域（$c \le y \le d,\; \psi_1(y) \le x \le \psi_2(y)$）：

$$\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)\,dx$$

极坐标

令 $x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$，面积微元 $d\sigma = r\,dr\,d\theta$：

$$\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$$

常见区域形式：

> 适用场景：被积函数含 $x^2 + y^2$，或积分区域为圆/环/扇形。

10.3 三重积分的概念与计算 ⭐⭐⭐

定义

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i$$

直角坐标

先一后二法（投影法）：

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \iint_{D_{xy}} dxdy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz$$

先二后一法（截面法）：

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \int_a^b dz \iint_{D_z} f(x,y,z)\,dxdy$$

柱坐标

$$\begin{cases}

x = r\cos\theta \\

y = r\sin\theta \\

z = z

\end{cases},\quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz$$

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \iiint_\Omega f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\,r\,dr\,d\theta\,dz$$

> 适用场景：积分区域在 $xOy$ 平面的投影为圆域，或被积函数含 $x^2 + y^2$。

球坐标

$$\begin{cases}

x = \rho\sin\varphi\cos\theta \\

y = \rho\sin\varphi\sin\theta \\

z = \rho\cos\varphi

\end{cases},\quad dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$$

其中 $\rho \ge 0,\; 0 \le \varphi \le \pi,\; 0 \le \theta \le 2\pi$

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \iiint_\Omega f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$$

> 适用场景：积分区域为球体/球壳，或被积函数含 $x^2 + y^2 + z^2$。

10.4 重积分的应用 ⭐⭐

曲面面积

曲面 $z = f(x,y)$ 在 $xOy$ 平面投影区域 $D$ 上的面积：

$$S = \iint_D \sqrt{1 + f_x^2(x,y) + f_y^2(x,y)}\,dxdy$$

参数形式的曲面 $\vec{r} = \vec{r}(u,v)$：

$$S = \iint_D \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv$$

质心

平面薄片 $D$（面密度 $\rho(x,y)$）的质心 $(\bar{x},\bar{y})$：

$$\bar{x} = \frac{\iint_D x\rho(x,y)\,d\sigma}{\iint_D \rho(x,y)\,d\sigma},\quad

\bar{y} = \frac{\iint_D y\rho(x,y)\,d\sigma}{\iint_D \rho(x,y)\,d\sigma}$$

空间物体 $\Omega$ 的质心 $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$：

$$\bar{x} = \frac{\iiint_\Omega x\rho\,dV}{\iiint_\Omega \rho\,dV},\quad

\bar{y} = \frac{\iiint_\Omega y\rho\,dV}{\iiint_\Omega \rho\,dV},\quad

\bar{z} = \frac{\iiint_\Omega z\rho\,dV}{\iiint_\Omega \rho\,dV}$$

转动惯量

第11章 曲线积分与曲面积分

11.1 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）⭐⭐

定义

$$\int_L f(x,y)\,ds = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$$

$ds$ 为弧长微元。

计算方法

参数形式：$L: x = x(t),\, y = y(t)\;(a \le t \le b)$

$$ds = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\,dt$$

$$\int_L f(x,y)\,ds = \int_a^b f(x(t), y(t))\,\sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)}\,dt$$

三元函数：$L: x = x(t), y = y(t), z = z(t)$

$$\int_L f(x,y,z)\,ds = \int_a^b f(x(t),y(t),z(t))\,\sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}\,dt$$

性质

11.2 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）⭐⭐⭐

定义

$$\int_L P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n [P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i + Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i]$$

计算方法

参数形式 $L: x = x(t),\, y = y(t)\;(t: a \to b)$：

$$\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_a^b [P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)]\,dt$$

> 注意：与路径方向有关，方向改变时积分变号。

两类曲线积分的联系

$$\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta)\,ds$$

其中 $(\cos\alpha, \cos\beta)$ 为曲线切向量的方向余弦。

11.3 格林公式 ⭐⭐⭐

> 定理（格林公式）：设闭区域 $D$ 由分段光滑曲线 $L$ 围成，$P(x,y), Q(x,y)$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，则：

> $$\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy = \oint_L P\,dx + Q\,dy$$

> 其中 $L$ 取正向（逆时针方向）。

应用

11.4 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）⭐⭐⭐

定义

$$\iint_\Sigma f(x,y,z)\,dS = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$$

计算方法

曲面 $z = z(x,y)$，投影区域为 $D_{xy}$：

$$dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,dxdy$$

$$\iint_\Sigma f(x,y,z)\,dS = \iint_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y))\,\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,dxdy$$

参数形式 $\vec{r} = \vec{r}(u,v)$：

$$dS = \left|\frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv$$

$$\iint_\Sigma f\,dS = \iint_D f(\vec{r}(u,v))\,\left|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right|\,du\,dv$$

11.5 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）⭐⭐⭐⭐

定义

$$\iint_\Sigma P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$$

计算方法（投影法）

$$\iint_\Sigma R(x,y,z)\,dx\,dy = \pm\iint_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y))\,dx\,dy$$

正负号由曲面侧决定：上侧取 $+$，下侧取 $-$。

类似地：

$$\iint_\Sigma P\,dy\,dz = \pm\iint_{D_{yz}} P(x(y,z),y,z)\,dy\,dz$$

$$\iint_\Sigma Q\,dz\,dx = \pm\iint_{D_{zx}} Q(x,y(z,x),z)\,dz\,dx$$

两类曲面积分的联系

$$\iint_\Sigma P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iint_\Sigma (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\,dS$$

其中 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 为曲面指定侧的单位法向量。

11.6 高斯公式 ⭐⭐⭐⭐

> 定理（高斯公式）：设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 围成，$P,Q,R$ 在 $\Omega$ 上有一阶连续偏导数，$\Sigma$ 取外侧，则：

> $$\iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)dV = \oiint_\Sigma P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$$

向量形式

$$\iiint_\Omega \nabla \cdot \vec{F}\,dV = \oiint_\Sigma \vec{F} \cdot \vec{n}\,dS = \oiint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S}$$

其中 $\vec{F} = (P,Q,R)$，$\nabla \cdot \vec{F} = \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z}$ 为散度。

11.7 斯托克斯公式 ⭐⭐⭐⭐

> 定理（斯托克斯公式）：设 $\Gamma$ 是分段光滑的空间有向闭曲线，$\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑有向曲面，$\Gamma$ 的方向与 $\Sigma$ 的侧符合右手法则，$P,Q,R$ 在 $\Sigma$ 上有一阶连续偏导数，则：

> $$\iint_\Sigma \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)dy\,dz + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)dz\,dx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy = \oint_\Gamma P\,dx + Q\,dy + R\,dz$$

行列式形式

$$\oint_\Gamma P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_\Sigma \begin{vmatrix}

dy\,dz & dz\,dx & dx\,dy \\

\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\

P & Q & R

\end{vmatrix}$$

向量形式

$$\oint_\Gamma \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_\Sigma (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n}\,dS$$

其中 $\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\

P & Q & R

\end{vmatrix}$ 为旋度。

11.8 曲线积分与路径无关的条件 ⭐⭐⭐

> 定理：设 $G$ 是单连通区域，$P(x,y), Q(x,y)$ 在 $G$ 内有一阶连续偏导数，则下列命题等价：

> 1. 曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,dx + Q\,dy$ 在 $G$ 内与路径无关；

> 2. 对 $G$ 内任意闭曲线 $C$，有 $\displaystyle\oint_C P\,dx + Q\,dy = 0$；

> 3. 在 $G$ 内恒有 $\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$；

> 4. 存在函数 $u(x,y)$ 使得 $du = P\,dx + Q\,dy$。

全微分求原函数

$$u(x,y) = \int_{x_0}^x P(x,y_0)\,dx + \int_{y_0}^y Q(x,y)\,dy$$

第12章 无穷级数

12.1 常数项级数的概念与性质 ⭐

定义

无穷级数：$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots$

部分和：$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

级数收敛 $\iff \displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = S$ 存在（有限值）

重要级数

基本性质

12.2 正项级数审敛法 ⭐⭐⭐

比较审敛法

设 $0 \le a_n \le b_n$：

比较审敛法的极限形式

若 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = l$（$0 < l < +\infty$），则 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 同敛散。

比值审敛法（达朗贝尔判别法）

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$$

根值审敛法（柯西判别法）

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho$$

积分审敛法

若 $a_n = f(n)$，$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续、非负、递减，则 $\sum a_n$ 与 $\int_1^{+\infty} f(x)\,dx$ 同敛散。

12.3 交错级数与绝对收敛 ⭐⭐

交错级数

形式：$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n$（$u_n > 0$）

> 莱布尼茨定理：若交错级数满足：

> 1. $u_n \ge u_{n+1}$（单调递减）

> 2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} u_n = 0$

> 则级数收敛，且余项 $|R_n| \le u_{n+1}$。

绝对收敛与条件收敛

12.4 幂级数 ⭐⭐⭐

定义

$$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots$$

一般形式：$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(x - x_0)^n$

收敛半径与收敛域

> 阿贝尔定理：若 $\sum a_n x^n$ 在 $x = x_0(\neq 0)$ 处收敛，则对 $|x| < |x_0|$ 的一切 $x$ 绝对收敛；若在 $x = x_0$ 处发散，则对 $|x| > |x_0|$ 的一切 $x$ 发散。

收敛半径公式：

$$R = \frac{1}{\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|} \quad\text{或}\quad R = \frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$$

收敛域需单独判断端点 $x = \pm R$ 处的敛散性。

幂级数的运算

在收敛区间内可逐项求导和逐项积分：

$$\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\right) = \sum_{n=1}^\infty na_n x^{n-1}$$

$$\int_0^x \left(\sum_{n=0}^\infty a_n t^n\right) dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$$

和函数

常用幂级数展开及其和函数：

12.5 函数展开成幂级数 ⭐⭐⭐

泰勒级数

若 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处任意阶可导：

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$$

当 $x_0 = 0$ 时称为麦克劳林级数。

常用麦克劳林展开式

$$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots,\quad x \in \mathbb{R}$$

$$\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots,\quad x \in \mathbb{R}$$

$$\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots,\quad x \in \mathbb{R}$$

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,\quad |x| < 1$$

$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots,\quad |x| < 1$$

$$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots,\quad |x| < 1$$

间接展开法

利用已知展开式，通过变量代换、逐项求导/积分、四则运算得到新函数的展开式。

12.6 傅里叶级数 ⭐⭐⭐

周期为 $2\pi$ 的函数展开

$f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期且在 $[-\pi,\pi]$ 上按段光滑：

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx + b_n\sin nx)$$

傅里叶系数：

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\,dx,\quad n = 0,1,2,\cdots$$

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,dx,\quad n = 1,2,3,\cdots$$

> 收敛定理（狄利克雷充分条件）：若 $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上按段光滑，则傅里叶级数在连续点处收敛于 $f(x)$，在间断点处收敛于左右极限的平均值 $\frac{f(x^-) + f(x^+)}{2}$。

周期为 $2l$ 的函数展开

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l} + b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)$$

$$a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,\quad n = 0,1,2,\cdots$$

$$b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx,\quad n = 1,2,3,\cdots$$

奇延拓与偶延拓（正弦级数与余弦级数）

$$b_n = \frac{2}{l}\int_0^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx$$

$$a_n = \frac{2}{l}\int_0^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx$$

附录：全册重要公式速查表

向量代数

空间几何

多元函数微分

重积分

曲线积分与曲面积分

无穷级数

> 整理完毕。建议配合教材例题练习，加深对公式和定理的理解。

练习4 — 重积分的应用

第11章 · 曲线积分与曲面积分 练习题

练习1 — 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）

练习2 — 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）

练习3 — 格林公式

练习4 — 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）

练习5 — 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）

练习6 — 高斯公式

练习7 — 斯托克斯公式

练习8 — 曲线积分与路径无关的条件

第12章 · 无穷级数 练习题

练习1 — 常数项级数的概念与性质

练习2 — 正项级数审敛法

练习3 — 交错级数与绝对收敛

练习4 — 幂级数

练习5 — 函数展开成幂级数

练习6 — 傅里叶级数