(1) 25 + 15 ÷ 5 = 25 + 3 = 28（先除后加）

(2) (25 + 15) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8（先算括号内）

(3) 80 − 6 × 7 = 80 − 42 = 38（先乘后减）

(4) (80 − 6) × 7 = 74 × 7 = 518（先算括号内）

💡 比较(1)(2)和(3)(4)：有无括号，运算顺序不同，结果也不同！

(1) 36 ÷ (4 + 5) = 36 ÷ 9 = 4

(2) 8 × (6 − 2) = 8 × 4 = 32

(3) 100 − (50 + 30) = 100 − 80 = 20

💡 括号可以改变运算顺序，尝试不同的位置！

综合算式：100 − (12 × 3 + 8 × 2)

= 100 − (36 + 16)

= 100 − 52

= 48（元）

答：还剩48元。

(1) 20 + 5 − 4 = 21

(2) 12 ÷ 4 × 2 = 6

(3) 多种方法：

  方法一：8 − 8 + 8 − 8 = 0

  方法二：8 × 8 ÷ 8 − 8 = 0

  方法三：8 ÷ 8 × 8 − 8 = 0

💡 可以多尝试几种组合，注意先乘除后加减的运算顺序！

满格：12格 → 12cm²

超过半格：5格 → 约5cm²

不到半格：3格 → 不记

总面积 ≈ 12 + 5 = 17（cm²）

💡 数格子估测面积时，"过半记1，不过半不记"。

方法一（分割法）：

S₁ = 6 × 3 = 18（cm²）

S₂ = 4 × 2 = 8（cm²）

S总 = 18 + 8 = 26（cm²）

答：组合图形面积是26cm²。

S长方形 = 8 × 5 = 40（cm²）

S正方形 = 3 × 3 = 9（cm²）

S剩下 = 40 − 9 = 31（cm²）

答：剩下的图形面积是31cm²。

💡 添补法：用大图形面积减去补上的部分。

(1) 23 × 15

先算 23 × 5 = 115

再算 23 × 10 = 230

115 + 230 = 345

(2) 34 × 21

34 × 1 = 34，34 × 20 = 680

34 + 680 = 714

(3) 42 × 13

42 × 3 = 126，42 × 10 = 420

126 + 420 = 546

💡 两位数乘两位数：先用第二个因数的个位乘，再用十位乘，最后相加。

24 × 12 = 24 × (10 + 2) = 240 + 48 = 288（瓶）

答：一共有288瓶牛奶。

💡 也可以用竖式：24 × 12 = 288。

25 × 36 = 25 × 4 × 9 = 100 × 9 = 900（千克）

答：这辆卡车一共装了900千克苹果。

💡 简便计算：看到25想4，25 × 36 = 25 × (4 × 9) = 100 × 9 = 900。

(1) 23 × 124

先算 23 × 4 = 92

再算 23 × 20 = 460（十位）

再算 23 × 100 = 2300（百位）

92 + 460 + 2300 = 2852

(2) 15 × 306

15 × 6 = 90

15 × 0 = 0（十位，注意写0占位）

15 × 300 = 4500

90 + 0 + 4500 = 4590

💡 遇到因数中间有0，乘的时候不要漏掉0占位！

32 × 25 = 8 × (4 × 25) = 8 × 100 = 800（页）

答：一共能打印800页。

💡 32 × 25 = (8 × 4) × 25 = 8 × (4 × 25) = 8 × 100 = 800。

(1) 38 × 22 ≈ 40 × 20 = 800

(2) 51 × 19 ≈ 50 × 20 = 1000

(3) 42 × 38 ≈ 40 × 40 = 1600

💡 估算方法：把因数看成整十数再相乘。

28 × 32 ≈ 30 × 30 = 900（人）

900 > 500，所以够坐500人。

实际：28 × 32 = 896（人）

答：电影院大约能坐900人，够坐500人。

💡 估算可以用来快速判断"够不够"。

第1行：60 × 5 = 300（米）

第2行：240 ÷ 3 = 80（千米/时）

第3行：400 ÷ 80 = 5（分）

💡 三个公式：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。

路程 = 速度 × 时间 = 250 × 12 = 3000（米）

3000米 = 3千米

答：小华家到图书馆有3000米，合3千米。

速度 = 120 ÷ 2 = 60（千米/时）

剩余路程 = 360 − 120 = 240（千米）

还需要的时间 = 240 ÷ 60 = 4（小时）

答：还要4小时到达乙城。

(1) 325 ÷ 25

32 ÷ 25 = 1 余 7

75 ÷ 25 = 3

商 = 13（验算：13 × 25 = 325 ✓）

(2) 504 ÷ 12

50 ÷ 12 = 4 余 2

24 ÷ 12 = 2

商 = 42（验算：42 × 12 = 504 ✓）

(3) 720 ÷ 24

72 ÷ 24 = 3

0 ÷ 24 = 0

商 = 30（验算：30 × 24 = 720 ✓）

💡 除数两位看两位，两位不够看三位；除到哪位商哪位。

480 ÷ 24

48 ÷ 24 = 2

0 ÷ 24 = 0

商 = 20（本）

验算：20 × 24 = 480 ✓

答：每个班分到20本。

(1) 858 ÷ 26

85 ÷ 26，试商3（26×3=78），余7

78 ÷ 26，试商3（26×3=78），余0

商 = 33

验算：33 × 26 = 858 ✓

(2) 945 ÷ 35

94 ÷ 35，试商2（35×2=70），余24

245 ÷ 35，试商7（35×7=245），余0

商 = 27

验算：27 × 35 = 945 ✓

💡 试商是除法的关键——用"四舍五入"法把除数看成整十数来试商。

(1) 80÷20=4

160÷40，被除数×2，除数×2，商不变 = 4

40÷10，被除数÷2，除数÷2，商不变 = 4

(2) 300÷50=6

30÷5，被除数÷10，除数÷10，商不变 = 6

600÷100，被除数×2，除数×2，商不变 = 6

💡 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

(1) 150 ÷ 25

被除数和除数同时×4：

(150×4) ÷ (25×4) = 600 ÷ 100 = 6

(2) 4000 ÷ 125

被除数和除数同时×8：

(4000×8) ÷ (125×8) = 32000 ÷ 1000 = 32

💡 看到25想4（25×4=100），看到125想8（125×8=1000）。

(1) 最喜欢跳绳的人数最多，有12人。

(2) 6 − 4 = 2（人）

(3) 12 + 8 + 6 + 4 = 30（人）

答：一共有30人参与了调查。

最高：周日（35°C），最低：周一（28°C）

相差：35 − 28 = 7（°C）

💡 制作条形统计图时要注意：纵轴单位长度要一致，直条宽度要相同，要标注横轴和纵轴的名称。

(1) 纵轴从80分到100分比较合适。

因为成绩在85-95之间，这样画出的直条形差距更明显，便于比较。

如果从0开始，直条太高差别不明显。

(2) 平均分 = (85 + 90 + 88 + 92 + 95) ÷ 5

= 450 ÷ 5 = 90（分）

答：小华5次测验的平均分是90分。

(30 + 25 + 35 + 20 + 40) ÷ 5

= 150 ÷ 5 = 30（分钟）

答：小红这周平均每天阅读30分钟。

4个数的总和 = 15 × 4 = 60

5个数的总和 = 60 + 20 = 80

新平均数 = 80 ÷ 5 = 16

答：这5个数的平均数是16。

前3次总分 = 88 × 3 = 264（分）

4次总分 = 264 + 96 = 360（分）

4次平均分 = 360 ÷ 4 = 90（分）

答：他4次测验的平均分是90分。

(1) $\frac{1}{4}$（四分之一）

(2) $\frac{5}{6}$（六分之五）

(3) $\frac{3}{10}$（十分之三）

(4) $\frac{7}{8}$（八分之七）

💡 分母表示平均分成的份数，分子表示涂色的份数。

(1) 读作五分之三，分子是3，分母是5

(2) 读作十二分之七，分子是7，分母是12

(3) 读作八分之五，分子是5，分母是8

💡 读分数时，先读分母再读分子，中间加"分之"。

(1) $\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{5}$（分子都是1，分母小的反而大）

(2) $\frac{3}{7}$ < $\frac{5}{7}$（分母相同，分子大的大）

(3) $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{4}$（分子都是1，分母小的反而大）

(4) $\frac{4}{9}$ > $\frac{2}{9}$（分母相同，分子大的大）

💡 两种比较方法：①同分母比分子，分子大的大；②几分之一比分母，分母小的反而大。

分子都是1，分母越小分数越大（平均分的份数越少，每份越大）

分母排序：2 < 3 < 4 < 6

所以从大到小：$\frac{1}{2}$ > $\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{4}$ > $\frac{1}{6}$

💡 可以这样想：一个蛋糕分给2个人 vs 分给6个人，当然2个人每人分到的更多！

比较 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{1}{3}$

分子都是1，分母3 < 4，所以 $\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{4}$

答：小红吃得多。因为同一个蛋糕平均分成3份，每份比分平均分成4份的每份更大。

💡 关键：同一个整体，平均分的份数越少，每份就越大。

(1) $\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \mathbf{\frac{5}{7}}$

(2) $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \mathbf{\frac{3}{9}}$

(3) $\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{1+4}{6} = \mathbf{\frac{5}{6}}$

(4) $\frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7-3}{8} = \mathbf{\frac{4}{8}}$

💡 同分母分数加减：分母不变，分子相加减。

一共吃了：$\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$

还剩下：$1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \mathbf{\frac{2}{5}}$

答：一共吃了 $\frac{3}{5}$，还剩下 $\frac{2}{5}$。

💡 把一块巧克力看成整体"1"，即 $\frac{5}{5}$。

(1) $\frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7-3}{8} = \mathbf{\frac{4}{8}}$（米）

(2) $\frac{7}{8} - \frac{5}{8} = \frac{7-5}{8} = \mathbf{\frac{2}{8}}$（米）

答：(1)还剩 $\frac{4}{8}$ 米，(2)还剩 $\frac{2}{8}$ 米。

💡 分数减法和整数减法一样，都是求"还剩多少"。

(1) 2356 + 4789 = 7145

(2) 10000 − 3624 = 6376

(3) 325 × 14 = 4550

(4) 4200 ÷ 24 = 175

💡 使用计算器时，按顺序输入数字和运算符号，最后按"="键。

(1) 1234 + 5678 = 6912，6912 − 3456 = 3456

(2) 5678 − 3456 = 2222，2222 + 1234 = 3456

结果相同，都是3456。

💡 同级运算中，交换数字的位置，结果不变。

(1) 1 × 9 + 2 = 9 + 2 = 11

(2) 12 × 9 + 3 = 108 + 3 = 111

(3) 123 × 9 + 4 = 1107 + 4 = 1111

(4) 规律：得数全是1，且1的个数比加数少1

1234 × 9 + 5 = 11111

💡 用计算器可以帮我们发现有趣的数学规律！

(1) 9 × 9 = 81

(2) 99 × 99 = 9801

(3) 999 × 999 = 998001

(4) 规律：9的个数减1个9 → 8 → 9的个数减1个0 → 1

9999 × 9999 = 99980001

💡 用计算器探索规律：多算几个，观察结果的变化规律，再预测下一个结果。

(1) (12 + 8) × 2 = 20 × 2 = 40（cm）

(2) 6 × 4 = 24（cm）

(3) (25 + 15) × 2 = 40 × 2 = 80（cm）

💡 长方形周长 = (长+宽)×2，正方形周长 = 边长×4。

由周长公式 C = (长 + 宽) × 2 得：

长 + 宽 = 48 ÷ 2 = 24（米）

宽 = 24 − 15 = 9（米）

验算：(15 + 9) × 2 = 48 ✓

答：宽是9米。

(1) 9 × 4 = 36（cm²）

(2) 7 × 7 = 49（cm²）

(3) 20 × 15 = 300（m²）

💡 长方形面积 = 长 × 宽，正方形面积 = 边长 × 边长。

教室面积 = 9 × 6 = 54（m²）

需要地砖 = 54 × 4 = 216（块）

答：铺满这间教室需要216块地砖。

(1) 1m² = 100dm²

(2) 1dm² = 100cm²

(3) 3m² = 300dm²

(4) 500cm² = 5dm²

💡 相邻面积单位之间的进率是100。

(1) ✗ 周长=4×4=16（cm），面积=4×4=16（cm²），数值相同但单位不同，不能等于！

(2) ✓ 周长是长度用长度单位，面积是大小用面积单位。

(3) ✗ 比如长7cm宽1cm和长5cm宽3cm，周长都是16cm，但面积分别是7cm²和15cm²，不一样。

(4) ✓ 正方形面积相等→边长相等→周长相等。

⚠️ 周长和面积是两个不同的概念，不能混为一谈！

周长=48cm，则长+宽=24cm

(1) 可能的围法：

① 长23cm，宽1cm，面积=23cm²

② 长12cm，宽12cm（正方形），面积=144cm²

③ 长15cm，宽9cm，面积=135cm²

(2) 当长=宽=12cm（正方形）时面积最大，面积 = 144cm²

💡 周长相等时，正方形的面积比长方形大！

原面积 = 12 × 8 = 96（m²）

(1) 长增加3米：新长=15m，新面积=15×8=120（m²）

增加面积 = 120 − 96 = 24（m²）

(2) 长和宽都增加3米：新长=15m，新宽=11m

新面积=15×11=165（m²）

增加面积=165−96=69（m²）

答：只增加长面积增加24m²，长宽都增加面积增加69m²。

方法一（列举法）：

红黑、红白、蓝黑、蓝白、绿黑、绿白

方法二（乘法原理）：

3 × 2 = 6（种）

答：一共有6种不同的穿法。

💡 搭配问题可以用"连线法"或"乘法"来解决。

3 × 4 = 12（种）

答：有12种不同的搭配。

💡 有序搭配要做到"不重复、不遗漏"。

2 × 3 × 2 = 12（条）

答：从A地到D地有12条不同的路线。

💡 多步搭配的乘法原理：每一步的选择数相乘。

5 ÷ 4 = 1⋯⋯1

商是1，余数是1

所以总有一个盘子里至少有 1 + 1 = 2（个）苹果。

💡 鸽巢原理（抽屉原理）：物体数÷抽屉数=商⋯余数，至少有一个抽屉有"商+1"个。

一年有12个月（12个抽屉），15个小朋友（15个物体）

15 ÷ 12 = 1⋯⋯3

至少：1 + 1 = 2（位）

答：至少有2位小朋友在同一个月出生。

💡 "至少"的意思是最少会有这么多，实际上可能更多。

最坏情况：先拿出1个红、1个黄、1个蓝（3种颜色各1个）

再拿第4个，不管是什么颜色，都会和前面某个颜色相同

所以至少拿出 4个 球，才能保证一定有2个颜色相同。

💡 "保证"意味着考虑最坏情况，然后加1。

周长=24米，长+宽=12米

列表枚举：

💡 周长相等时，围成正方形面积最大。

周长=16米，长+宽=8米

围成边长4米的正方形时面积最大，为16m²。

规律：第n个数 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n

第1个：1

第2个：1+2=3

第3个：1+2+3=6

第4个：1+2+3+4=10

第5个：1+2+3+4+5=15

第6个：1+2+3+4+5+6=21

💡 这就是三角形数，每个数都可以排成一个三角形！

规律：第n个图形 = 前n个连续奇数的和

第1个：1 = 1²

第2个：1+3 = 4 = 2²

第3个：1+3+5 = 9 = 3²

第4个：1+3+5+7 = 16 = 4²

第10个：10² = 100

💡 前n个连续奇数的和 = n²！数和形之间有着美妙的联系。