内角和公式：$(n-2) \times 180°$

(1) 五边形：$(5-2) \times 180° = 3 \times 180° = \textbf{540°}$

(2) 八边形：$(8-2) \times 180° = 6 \times 180° = \textbf{1080°}$

(3) 十边形：$(10-2) \times 180° = 8 \times 180° = \textbf{1440°}$

💡 n边形内角和 = (n−2) × 180°，其中n≥3。

任何多边形的外角和都是 $\textbf{360°}$。

正多边形每个外角相等，且为 $360° \div n$

由 $360° \div n = 30°$ 得 $n = 360° \div 30° = \textbf{12}$

答：这个多边形是十二边形。

💡 外角和恒为360°（与边数无关），这是多边形的重要性质。

设多边形边数为n。

内角和 = $(n-2) \times 180°$，外角和 = $360°$

由题意：$(n-2) \times 180° = 3 \times 360°$

$(n-2) \times 180° = 1080°$

$n-2 = 1080° \div 180° = 6$

$n = 8$

答：这个多边形是八边形。

💡 利用内角和与外角和的关系列方程求解。

(1) 从n边形一个顶点可引 $(n-3)$ 条对角线

由 $n-3 = 5$，得 $n = \textbf{8}$，是八边形。

(2) 内角和 = $(8-2) \times 180° = 6 \times 180° = \textbf{1080°}$

(3) 对角线总条数 = $\dfrac{n(n-3)}{2} = \dfrac{8 \times 5}{2} = \textbf{20（条）}$

💡 从顶点引对角线条数 = n−3，总条数 = n(n−3)/2。

平行四边形性质：对角相等，邻角互补。

∠C = ∠A = 70°（对角相等）

∠B + ∠A = 180° → ∠B = 180° − 70° = 110°（邻角互补）

∠D = ∠B = 110°（对角相等）

💡 平行四边形中，一组邻角互补，一组对角相等。

(1) ∵ AB∥CD 且 AB = CD

∴ 一组对边平行且相等 → 四边形ABCD是平行四边形。

(2) 平行四边形对角线互相平分。

∴ AO = OC（O为AC中点）

💡 判定平行四边形的方法之一：一组对边平行且相等。

设AB = CD = a，AD = BC = b。

周长：$2a + 2b = 48$，即 $a + b = 24$ ……①

△AOB周长 = AB + AO + BO = a + AO + BO

△BOC周长 = BC + BO + CO = b + BO + CO

由对角线互相平分知：AO = CO

∴ (a + AO + BO) − (b + BO + CO) = a − b = 4 ……②

由①②得：a = 14，b = 10

答：AB = CD = 14cm，AD = BC = 10cm。

💡 平行四边形对角线互相平分，这是解决周长问题的关键。

(1) ✗ 错误。有一个角是直角的平行四边形才是矩形。普通四边形有一个直角不一定是矩形。

(2) ✓ 正确。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

(3) ✗ 错误。对角线相等的平行四边形才是矩形。普通四边形对角线相等不一定是矩形。

(4) ✓ 正确。有一组邻边相等的矩形是正方形。

💡 判定特殊平行四边形时，必须在平行四边形的基础上进行判断。

(1) 菱形对角线互相垂直平分。

设对角线AC = 6cm，BD = 8cm，交点为O。

AO = 3cm，BO = 4cm

在Rt△AOB中，由勾股定理：

AB² = AO² + BO² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

AB = 5cm

答：菱形边长为5cm。

(2) 菱形面积 = 对角线乘积的一半

S = 6 × 8 ÷ 2 = 24（cm²）

💡 菱形面积两种算法：S = 底×高 = 对角线乘积÷2。

矩形对角线相等且互相平分，∴ OA = OB = OC = OD。

∵ ∠AOB = 60° ∴ △AOB是等边三角形。

∴ OA = OB = AB = 4cm

对角线 BD = AC = 2 × OA = 8cm

在Rt△ABC中，BC² = AC² − AB² = 8² − 4² = 64 − 16 = 48

BC = √48 = 4√3 cm

面积 S = AB × BC = 4 × 4√3 = 16√3（cm²）

💡 矩形中若出现60°角，常与等边三角形或30°直角三角形关联。

正方形边长 = BE + EC = 3 + 2 = 5

AD = 5（正方形边长），高 = 正方形边长 = 5（AD到BC的距离）

△ADE的底边为AD，高等于正方形的边长（从E到AD的垂线长）。

由于AD∥BC，E在BC上，高即为正方形边长5。

$S_{\triangle ADE} = \dfrac{1}{2} \times AD \times 高 = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 5 = \textbf{12.5}$

答：△ADE的面积为12.5（平方单位）。

💡 正方形中，底边在一条边上、顶点在平行边上的三角形，面积等于正方形面积的一半。

∵ D、E分别是AB、AC的中点

∴ DE是△ABC的中位线

中位线性质：DE ∥ BC 且 DE = BC ÷ 2

DE = 10 ÷ 2 = 5（cm）

💡 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

重心将每条中线分成2:1的两段（顶点到重心 : 重心到对边中点 = 2:1）。

(1) AG : GD = 2 : 1，总长AD = 12cm

AG = $12 \times \dfrac{2}{3} = \textbf{8（cm）}$

(2) GD = $12 \times \dfrac{1}{3} = \textbf{4（cm）}$

验算：AG + GD = 8 + 4 = 12 = AD ✓

💡 重心分中线为2:1，可用比例直接求出。

D为AB中点，E为AC中点，∴ DE是△ABC的中位线。

DE = BC ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8（cm）

F为AD中点，G为AE中点，∴ FG是△ADE的中位线。

FG = DE ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4（cm）

💡 两次使用中位线定理：FG = DE ÷ 2 = BC ÷ 4。本题考查中位线的嵌套使用。

(1) A(3, 5) → 第一象限（x>0, y>0）

(2) B(−2, 4) → 第二象限（x<0, y>0）

(3) C(−3, −1) → 第三象限（x<0, y<0）

(4) D(4, −3) → 第四象限（x>0, y<0）

(5) E(0, 5) → y轴上（x=0，不在任何象限）

💡 第一象限(+,+)，第二象限(−,+)，第三象限(−,−)，第四象限(+,−)。

点在x轴上 → 纵坐标为0

即 $a - 3 = 0$，解得 $a = \textbf{3}$

横坐标 $2a + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7$

答：a = 3，点P的坐标为 (7, 0)。

💡 x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。

两点间距离公式：$AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

(1) $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = \textbf{5}$

(2) $CD = \sqrt{(2-(-1))^2 + ((-1)-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = \textbf{5}$

💡 两点间距离公式本质上是勾股定理在坐标系中的应用。

分别求出三边长：

$AB = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

$BC = \sqrt{(0-5)^2 + (6-5)^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$

$AC = \sqrt{(0-2)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}$

最长边为AC = √29，AB² + BC² = 25 + 26 = 51，AC² = 29

AB² + BC² ≠ AC²，AB² + AC² = 25 + 29 = 54 ≠ BC²

BC² + AC² = 26 + 29 = 55 ≠ AB²

∴ △ABC是一般三角形（非直角三角形）。

💡 用距离公式求出三边长，再用勾股定理逆定理判断。

利用对称性解决"最短路径"问题：

找A关于x轴的对称点A'(1, −2)。

连接A'B交x轴于点P，则PA + PB = PA' + PB = A'B（两点间线段最短）。

$A'B = \sqrt{(5-1)^2 + (5-(-2))^2} = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16+49} = \sqrt{65}$

最小值 = $\sqrt{65}$

求P点坐标：设P(m, 0)，由A'、P、B三点共线：

$\dfrac{0-(-2)}{m-1} = \dfrac{5-(-2)}{5-1} = \dfrac{7}{4}$

得 $\dfrac{2}{m-1} = \dfrac{7}{4}$ → $8 = 7(m-1)$ → $7m = 15$ → $m = \dfrac{15}{7}$

答：P坐标为 ($\dfrac{15}{7}$, 0)，最小值为 √65。

💡 将军饮马问题：利用对称将折线转化为直线。

(1) 向右平移3个单位：横坐标+3 → (5, 3)

(2) 向左平移2，向上平移1：横坐标−2，纵坐标+1 → (0, 4)

(3) 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数 → (2, −3)

(4) 关于y轴对称：横坐标取相反数，纵坐标不变 → (−2, 3)

💡 平移：左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标）。

(1) 右2下3：横坐标+2，纵坐标−3

A₁: (1+2, 2−3) = (3, −1)

B₁: (3+2, 1−3) = (5, −2)

C₁: (2+2, 4−3) = (4, 1)

(2) 关于y=x对称：(x, y) → (y, x)

A₂: (2, 1)

B₂: (1, 3)

C₂: (4, 2)

💡 关于直线y=x对称：横纵坐标互换。

平移后点A'坐标：$(3-a, -2+b)$

关于x轴对称后点A''坐标：$(3-a, -(-2+b)) = (3-a, 2-b)$

已知A''坐标为(1, 5)，则：

$3-a = 1$ → $a = \textbf{2}$

$2-b = 5$ → $b = \textbf{−3}$

答：a = 2，b = −3（即向上平移−3个单位，等同于向下平移3个单位）。

💡 根据变换顺序逐步反推，利用坐标变换的代数关系列方程。

(1) ✓ 是函数。每个x都有唯一确定的y与之对应。

(2) ✗ 不是函数。例如x=4时，y=±2，y有2个值与之对应，不满足"唯一确定"。

(3) ✓ 是函数。每个x对应的绝对值是唯一确定的。

(4) ✗ 不是函数。例如x=1时，y=±1，不唯一。

💡 判断是否为函数的关键：对于每个x，y是否唯一确定。

(1) 分母不为0：$x-3 \neq 0$，即$x \neq 3$

定义域：$\{x \mid x \neq 3\}$ 或 $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$

(2) 被开方数非负：$x+2 \geq 0$，即$x \geq -2$

定义域：$[-2, +\infty)$

(3) 根号要求$x \geq 0$，分母不为0要求$x \neq 1$

定义域：$[0, 1) \cup (1, +\infty)$

💡 求定义域关注两点：分母≠0、被开方数≥0。

(1) ✓ 是正比例函数，y = 3x，k = 3

(2) ✗ 不是（有常数项+1，是一次函数但不是正比例函数）

(3) ✓ 是正比例函数，y = x/2 = (1/2)x，k = 1/2

(4) ✗ 不是（是反比例函数，正比例函数要求y = kx形式）

💡 正比例函数必须满足 y = kx（k≠0），b=0。

(1) 设y = kx（k≠0）

代入x=2, y=6：6 = k × 2 → k = 3

解析式：y = 3x

(2) x = −3时，y = 3 × (−3) = −9

(3) y = 15时，15 = 3x → x = 5

💡 正比例函数求解析式：代入一个点即可求出k。

正比例函数y = kx，k≠0。

图像过二、四象限 → k < 0

即：$m - 2 < 0$

解得：$m < 2$

又∵ k≠0，∴ m−2≠0，即m≠2

综上：m < 2

💡 k>0 → 一、三象限（y随x增大而增大）；k<0 → 二、四象限（y随x增大而减小）。

(1) y = 2x + 3：k=2>0，b=3>0 → 过一、二、三象限

(2) y = −x + 1：k=−1<0，b=1>0 → 过一、二、四象限

(3) y = 3x − 2：k=3>0，b=−2<0 → 过一、三、四象限

💡 根据k的正负和b的正负判断象限：k决定倾斜方向，b决定与y轴交点。

(1) 代入A(1, 3)：$k + b = 3$ ……①

代入B(−1, −1)：$-k + b = -1$ ……②

①+②：$2b = 2$ → $b = 1$

代入①：$k + 1 = 3$ → $k = 2$

解析式：y = 2x + 1

(2) 与y轴交点（x=0）：y = 2×0 + 1 = 1 → (0, 1)

与x轴交点（y=0）：0 = 2x + 1 → x = −1/2 → (−1/2, 0)

💡 待定系数法求一次函数：设→代→解→写。

条件1：y随x增大而减小 → k < 0 → $3-m < 0$ → $m > 3$

条件2：与y轴交点在x轴下方 → b < 0 → $2m-1 < 0$ → $m < 0.5$

两个条件矛盾：m > 3 且 m < 0.5 无交集。

答：不存在这样的m。

💡 本题考查一次函数k和b的几何意义，同时满足两个条件需取交集。

(1) y=0：$2x-3=0$ → $x=1.5$ → A (1.5, 0)

(2) x=0：$y=2×0-3=−3$ → B (0, −3)

(3) OA = 1.5，OB = |−3| = 3

$S_{\triangle AOB} = \dfrac{1}{2} \times OA \times OB = \dfrac{1}{2} \times 1.5 \times 3 = 2.25$（平方单位）

💡 一次函数与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，面积 = 1/2 × |横截距| × |纵截距|。

(1) A套餐：$y_A = 0.1x + 20$（一次函数）

B套餐：$y_B = 0.2x$（正比例函数）

(2) 费用相同：$0.1x + 20 = 0.2x$

$20 = 0.1x$ → $x = \textbf{200}$（分钟）

(3) A套餐更划算：$y_A < y_B$

$0.1x + 20 < 0.2x$

$20 < 0.1x$ → $x > 200$

答：通话超过200分钟时，A套餐更划算。

💡 方案选择问题：建立函数模型→列方程找临界点→比较大小选方案。