(1) 解 $x^2 - 5x + 6 = 0$，得 $x = 2$ 或 $x = 3$，所以解集为 $\{2, 3\}$

(2) 小于10的正偶数有 2, 4, 6, 8，所以集合为 $\{2, 4, 6, 8\}$

(3) 绝对值小于3的整数有 $-2, -1, 0, 1, 2$，所以集合为 $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$

💡 列举法就是将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起。

(1) $A \cap B = \{2, 3\}$（公共元素）

(2) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$（所有元素，不重复）

(3) $\complement_U A = \{4, 5\}$（U中不在A中的元素）

💡 交集取公共部分，并集合并所有元素，补集取全集去掉自身。

由 $A \cup B = A$ 可知 $B \subseteq A$

$A = \{1, 2\}$

分情况讨论：

(1) $B = \varnothing$：$\Delta = a^2 - 8 < 0$，即 $-2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}$

(2) $B = \{1\}$：$1^2 - a \cdot 1 + 2 = 0$，得 $a = 3$，此时 $x^2 - 3x + 2 = 0$ 的解为 $x = 1$ 或 $x = 2$，$B = \{1, 2\}$，不合题意

(3) $B = \{2\}$：同理得 $a = 3$，$B = \{1, 2\}$，不合题意

(4) $B = \{1, 2\}$：由韦达定理，$1 + 2 = a$ 且 $1 \times 2 = 2$，得 $a = 3$

综上，$a$ 的取值范围为 $-2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}$ 或 $a = 3$

💡 关键：$A \cup B = A$ 等价于 $B \subseteq A$，然后分类讨论 $B$ 的可能情况。

设 $A = \{\text{喜欢数学的学生}\}$，$B = \{\text{喜欢物理的学生}\}$

(1) 至少喜欢一科 = $A \cup B$

$\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$

$= 30 + 25 - 15 = 40（人）$

(2) 两科都不喜欢 = 全班人数 - $\text{card}(A \cup B)$

$= 50 - 40 = 10（人）$

💡 容斥原理：两个集合的并集元素个数 = 各自元素个数之和 - 交集元素个数。

(1) 真命题。任何实数的平方都大于等于0。

(2) 假命题。$x^2 + 1 \geq 1 > 0$，不存在实数 $x$ 使 $x^2 + 1 = 0$。

(3) 假命题。例如 $x = -1$ 时 $-1 < 0$。

💡 全称命题 $\forall$ 要所有元素都满足才真；存在命题 $\exists$ 只要有一个满足就真。

(1) $x = 1 \Rightarrow x^2 = 1$ 成立，但 $x^2 = 1 \nRightarrow x = 1$（$x$ 也可为 $-1$），所以是 充分不必要条件

(2) $x > 2 \Rightarrow x > 1$ 成立，但 $x > 1 \nRightarrow x > 2$，所以是 充分不必要条件

(3) $x = 0 \Rightarrow xy = 0$ 成立，但 $xy = 0 \nRightarrow x = 0$（$y = 0$ 时 $x$ 可为任意值），所以是 充分不必要条件

💡 判断口诀：$p \Rightarrow q$ 且 $q \nRightarrow p$ 是充分不必要；$p \nRightarrow q$ 且 $q \Rightarrow p$ 是必要不充分。

(1) 否定：存在一个正方形不是平行四边形（假命题，因为所有正方形都是平行四边形）

(2) 否定：$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 > 0$（真命题，因为 $x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$）

(3) 否定：$\exists x \in \mathbb{R}, |x| < 0$（假命题，因为任何实数的绝对值都 $\geq 0$）

💡 命题的否定规则：全称变存在，存在变全称，结论取反。

$p: |x| \leq 2 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2$，$q: x \leq a$

$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件 $\Rightarrow p \Rightarrow q$ 但 $q \nRightarrow p$

即 $p$ 的范围是 $q$ 范围的真子集，所以 $[-2, 2] \subseteq (-\infty, a]$

所以 $a \geq 2$。当 $a = 2$ 时，$p \Rightarrow q$ 成立，但 $q \nRightarrow p$（例如 $x = -3 \leq 2$ 但 $|x| = 3 > 2$）

所以 $a$ 的取值范围为 $a \geq 2$

💡 充分不必要条件等价于小范围推大范围，利用数轴辅助理解。

(1) $a + 1 - a = 1 > 0$，所以 $a + 1 > a$

(2) $(a - 3) - (b - 3) = a - b > 0$，所以 $a - 3 > b - 3$（不等式两边同加一个数，不等号方向不变）

(3) $ac - bc = c(a - b)$，因为 $a - b > 0$，$c < 0$，所以 $c(a - b) < 0$，故 $ac < bc$（不等式两边同乘负数，不等号方向改变）

💡 作差法是比较大小的基本方法，不等式性质中乘负数要变号。

(1) 假命题。当 $c = 0$ 时，$ac^2 = bc^2 = 0$，不等号不成立。

(2) 假命题。取 $a = 5, b = 4, c = 6, d = 1$，则 $a - c = -1$，$b - d = 3$，$-1 < 3$，不成立。

(3) 真命题。$a > b > 0 \Rightarrow ab > 0$，两边同除以 $ab$ 得 $\frac{a}{ab} > \frac{b}{ab}$，即 $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$，所以 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$。

💡 应用不等式性质时要注意条件，特别是乘除要关注正负号。

设 $u = a + b$，$v = a - b$，则 $1 \leq u \leq 4$，$-1 \leq v \leq 2$

解出 $a = \frac{u + v}{2}$，$b = \frac{u - v}{2}$

$2a - b = 2 \times \frac{u + v}{2} - \frac{u - v}{2} = u + v - \frac{u - v}{2} = \frac{u + 3v}{2}$

$u$ 的最小值为1，$v$ 的最小值为-1，此时 $\frac{1 + 3(-1)}{2} = -1$

$u$ 的最大值为4，$v$ 的最大值为2，此时 $\frac{4 + 3 \times 2}{2} = 5$

所以 $2a - b$ 的取值范围为 $[-1, 5]$

⚠️ 注意：不能直接用两个式子的范围加减，因为 $a$ 和 $b$ 是关联的，要用线性组合（换元法）求解。

(1) $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) > 0$，$x < 2$ 或 $x > 3$（大于取两边）

(2) $x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \leq 0$，$-3 \leq x \leq -1$（小于取中间）

(3) 两边同乘 $-1$ 得 $x^2 - 2x - 3 > 0$，$(x - 3)(x + 1) > 0$，$x < -1$ 或 $x > 3$

💡 利用口诀"大于取两边，小于取中间"，但前提是二次项系数 $a > 0$，否则先化为正数。

由解集 $\{x \mid -1 < x < 2\}$ 可知 $a < 0$，且 $-1$ 和 $2$ 是 $ax^2 + bx + 2 = 0$ 的两个根

由韦达定理：$-1 + 2 = -\frac{b}{a} \Rightarrow 1 = -\frac{b}{a} \Rightarrow b = -a$

$-1 \times 2 = \frac{2}{a} \Rightarrow -2 = \frac{2}{a} \Rightarrow a = -1$，$b = 1$

所以 $a = -1$，$b = 1$

检验：$-x^2 + x + 2 > 0 \Rightarrow x^2 - x - 2 < 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) < 0$，解集为 $-1 < x < 2$，符合题意。

💡 已知一元二次不等式的解集，利用韦达定理反求系数。

二次项系数 $1 > 0$，抛物线开口向上

不等式恒成立 $\Rightarrow$ 判别式 $\Delta < 0$

$\Delta = (-2a)^2 - 4 \times 1 \times a = 4a^2 - 4a < 0$

$4a(a - 1) < 0$，解得 $0 < a < 1$

💡 一元二次不等式恒成立问题：$ax^2 + bx + c > 0$ 恒成立 $\Leftrightarrow a > 0$ 且 $\Delta < 0$。

因式分解：$x^2 - (a + 1)x + a = (x - 1)(x - a) > 0$

两根分别为 $x = 1$ 和 $x = a$，需分类讨论：

(1) 当 $a > 1$ 时，解为 $x < 1$ 或 $x > a$

(2) 当 $a = 1$ 时，不等式为 $(x - 1)^2 > 0$，解为 $x \neq 1$

(3) 当 $a < 1$ 时，解为 $x < a$ 或 $x > 1$

💡 含参一元二次不等式要比较两根大小，分类讨论。

(1) $x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 4$，当且仅当 $x = \frac{4}{x}$，即 $x = 2$ 时取等，所以最小值为 4

(2) $xy \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25$，当且仅当 $x = y = 5$ 时取等，所以最大值为 25

💡 "积定和最小，和定积最大"是基本不等式求最值的核心口诀。

$x + y = (x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{9}{y}\right) = 1 + \frac{9x}{y} + \frac{y}{x} + 9 = 10 + \frac{9x}{y} + \frac{y}{x}$

$\frac{9x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\sqrt{\frac{9x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 6$

所以 $x + y \geq 16$，当且仅当 $\frac{9x}{y} = \frac{y}{x}$ 即 $y = 3x$ 时取等

代入条件得 $x = 4$，$y = 12$，最小值为 16

💡 遇到条件为分式之和，用"1的代换"乘以目标式，再展开用基本不等式。

设池底长为 $x$ 米，宽为 $y$ 米，则 $3xy = 4800$，$xy = 1600$

池底造价：$1600 \times 150 = 240000$ 元

池壁面积 $= 6(x + y)$，池壁造价：$6(x + y) \times 120 = 720(x + y)$ 元

总造价 $P = 240000 + 720(x + y)$

由基本不等式：$x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2 \times 40 = 80$

$P \geq 240000 + 720 \times 80 = 297600$（元）

当且仅当 $x = y = 40$（池底为正方形）时取等

答：池底设计为边长40米的正方形时造价最低，最低总造价为297600元。

💡 实际应用题要建立函数模型，利用基本不等式求最值。

(1) $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

(2) $16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$

(3) $8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 = 4$

(4) $(\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$

💡 分数指数幂：$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$，负指数：$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$。

(1) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{3}{2}} = a^{\frac{2}{3}+\frac{3}{2}} = a^{\frac{13}{6}}$

(2) $a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}-(-\frac{1}{6})} = a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}} = a^{\frac{13}{12}}$

(3) $(x^{\frac{2}{3}})^6 \cdot (y^{-\frac{1}{2}})^6 = x^4 y^{-3} = \frac{x^4}{y^3}$

💡 指数的运算法则：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$，$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$，$(a^m)^n = a^{mn}$。

(1) 将已知式两边平方：$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = 9$

$a + 2 + a^{-1} = 9$，所以 $a + a^{-1} = 7$

(2) 将 $a + a^{-1} = 7$ 两边平方：$a^2 + 2 + a^{-2} = 49$，$a^2 + a^{-2} = 47$

💡 利用完全平方公式递推：已知 $x + x^{-1}$ 可求 $x^2 + x^{-2}$。

分子分母同乘 $a^{\frac{1}{2}}$：

$\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a - 1}{a + 1}$

所以化简结果为 $\dfrac{a - 1}{a + 1}$

💡 有理化（分子分母同乘 $a^{\frac{1}{2}}$）是处理含负指数幂的常用技巧。

(1) $\log_2 32 = 5$

(2) $3^4 = 81$

(3) 设 $\log_2 \frac{1}{8} = x$，则 $2^x = \frac{1}{8} = 2^{-3}$，所以 $x = -3$，即 $\log_2 \frac{1}{8} = -3$

💡 指数式与对数式互化：$a^x = N \Leftrightarrow \log_a N = x$。

(1) $\log_3 27 = 3$，$\log_3 \frac{1}{9} = -2$，所以 $1$

(2) $\lg 100 = 2$，$\lg 0.01 = -2$，所以 $4$

(3) $\log_5 125 - \log_5 25 = \log_5 \frac{125}{25} = \log_5 5 = 1$

💡 对数的运算法则：$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$，$\log_a(\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N$。

利用换底公式，取底数为2：$\log_{15} 20 = \frac{\log_2 20}{\log_2 15}$

$\log_2 20 = \log_2(2^2 \times 5) = 2 + \log_2 5$

$\log_2 15 = \log_2(3 \times 5) = \log_2 3 + \log_2 5 = a + \log_2 5$

由 $\log_3 5 = b$ 得 $\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = ab$

所以 $\log_{15} 20 = \frac{2 + ab}{a + ab} = \frac{2 + ab}{a(1 + b)}$

💡 换底公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ 是处理不同底数对数的关键工具。

定义域：$x - 1 > 0$ 且 $x + 3 > 0$，即 $x > 1$

$\log_2[(x - 1)(x + 3)] = 4 \Rightarrow (x - 1)(x + 3) = 2^4 = 16$

$x^2 + 2x - 3 = 16 \Rightarrow x^2 + 2x - 19 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 76}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{5}$

因为 $x > 1$，所以方程的解为 $x = -1 + 2\sqrt{5}$

⚠️ 解对数方程一定要先求定义域，然后检验解是否在定义域内！

幂函数的定义：形如 $y = x^a$（$a$ 为常数）的函数

(1) 是（$a = 3$）  (2) 不是（指数函数）  (3) 是（$a = -2$）

(4) 是（$a = \frac{1}{2}$）  (5) 不是（有系数3）

💡 幂函数的特征是：自变量在底数位置，指数为常数，系数为1。

将 $(2, \sqrt{2})$ 代入：$2^a = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$，所以 $a = \frac{1}{2}$

解析式为 $y = x^{\frac{1}{2}}$（即 $y = \sqrt{x}$）

因为 $a = \frac{1}{2} > 0$，所以在 $(0, +\infty)$ 上 单调递增

💡 幂函数 $y = x^a$ 必过 $(1, 1)$，$a > 0$ 时在 $(0, +\infty)$ 递增，$a < 0$ 时递减。

(1) 底数 $1.5 > 1$，$y = 1.5^x$ 递增，$0.2 < 0.3$，所以 $1.5^{0.2} < 1.5^{0.3}$

(2) 底数 $0.8 \in (0, 1)$，$y = 0.8^x$ 递减，$0.5 < 0.6$，所以 $0.8^{0.5} > 0.8^{0.6}$

(3) $2^{0.3} > 2^0 = 1$，而 $0.3^2 = 0.09 < 1$，所以 $2^{0.3} > 0.3^2$

💡 比较幂值大小，常用中间量法（与0、1比较）或利用函数的单调性。

由幂函数定义，系数为1：$m^2 - 3m + 3 = 1 \Rightarrow m^2 - 3m + 2 = 0$

$(m - 1)(m - 2) = 0$，$m = 1$ 或 $m = 2$

当 $m = 1$ 时，指数 $m^2 - m - 2 = -2 < 0$，在 $(0, +\infty)$ 上单调递减

当 $m = 2$ 时，指数 $m^2 - m - 2 = 0$，$f(x) = x^0 = 1$（常数），不满足单调递减

所以 $m = 1$

💡 幂函数指数 $a < 0$ 时在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，$a = 0$ 时为常数函数。

(1) 定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0, +\infty)$

(2) 定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0, +\infty)$

(3) 定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0, +\infty)$

💡 指数函数 $y = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0, +\infty)$，都过点 $(0, 1)$。

(1) 底数 $1.7 > 1$，递增，$2.5 < 3$，所以 $1.7^{2.5} < 1.7^3$

(2) 底数 $0.8 \in (0, 1)$，递减，$-0.1 > -0.2$，所以 $0.8^{-0.1} < 0.8^{-0.2}$

(3) 幂函数 $y = x^{\frac{2}{3}}$ 在 $(0, +\infty)$ 递增，$\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$，所以 $(\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}} < (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}$

💡 底数相同用指数函数单调性；指数相同用幂函数单调性。

(1) $a^2 = \frac{1}{9}$，$a > 0$，所以 $a = \frac{1}{3}$，$f(x) = (\frac{1}{3})^x$

(2) 底数 $\frac{1}{3} \in (0, 1)$，$f(x)$ 递减，$-1 > -2$，所以 $f(-1) < f(-2)$

验证：$f(-1) = 3$，$f(-2) = 9$，$3 < 9$ ✓

💡 指数函数的单调性取决于底数：$a > 1$ 递增，$0 < a < 1$ 递减。

$2^{x^2 - 3x} < 4 = 2^2$，底数 $2 > 1$，递增，所以

$x^2 - 3x < 2 \Rightarrow x^2 - 3x - 2 < 0$

$\Delta = 9 + 8 = 17$，解得 $\frac{3 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

解集为 $(\frac{3 - \sqrt{17}}{2}, \frac{3 + \sqrt{17}}{2})$

💡 解指数不等式：化为同底，利用指数函数的单调性转化为代数不等式。

(1) $3x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3}$，定义域 $(\frac{1}{3}, +\infty)$

(2) $x^2 - 4 > 0 \Rightarrow x < -2$ 或 $x > 2$，定义域 $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

(3) $2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$，定义域 $(-\infty, 2)$

💡 对数函数 $y = \log_a x$ 定义域为 $(0, +\infty)$，所以真数必须大于0。

(1) 底数 $2 > 1$，递增，$3 < 5$，所以 $\log_2 3 < \log_2 5$

(2) 底数 $\frac{1}{2} \in (0, 1)$，递减，$3 < 5$，所以 $\log_{\frac{1}{2}} 3 > \log_{\frac{1}{2}} 5$

(3) $\log_3 2 < \log_3 3 = 1$，$\log_2 3 > \log_2 2 = 1$，所以 $\log_3 2 < \log_2 3$

💡 比较对数大小时，先看底数确定单调性，底数不同时可用中间量（如0、1）过渡。

(1) $ax - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{a}$，定义域 $(\frac{1}{a}, +\infty)$

(2) $f(x) > 0 \Rightarrow \log_a(ax - 1) > 0$

当 $a > 1$ 时，递增，$ax - 1 > 1 \Rightarrow x > \frac{2}{a}$，解集 $(\frac{2}{a}, +\infty)$

当 $0 < a < 1$ 时，递减，$0 < ax - 1 < 1 \Rightarrow \frac{1}{a} < x < \frac{2}{a}$，解集 $(\frac{1}{a}, \frac{2}{a})$

💡 解对数不等式一定要考虑底数对单调性的影响，分类讨论。

$\log_a 2 < 1 = \log_a a$

当 $a > 1$ 时，递增，$2 < a \Rightarrow a > 2$

当 $0 < a < 1$ 时，递减，$2 > a \Rightarrow 0 < a < 1$

综上，$a$ 的取值范围为 $(0, 1) \cup (2, +\infty)$

💡 含参数的对数不等式，底数影响单调性，必须分类讨论。

(1) $x \neq 2$，定义域 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

(2) $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$，定义域 $[-3, +\infty)$

(3) $2 - x \geq 0$ 且 $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \leq 2$ 且 $x \neq 1$，定义域 $(-\infty, 1) \cup (1, 2]$

💡 求定义域的关键是：分母 $\neq 0$、偶次根式被开方数 $\geq 0$ 等。

(1) $-2 \leq 0$，$f(-2) = (-2)^2 + 1 = 5$

(2) $0 \leq 0$，$f(0) = 0^2 + 1 = 1$

(3) $3 > 0$，$f(3) = 2 \times 3 - 1 = 5$

💡 分段函数求值时，先判断自变量属于哪个区间，再代入对应的解析式。

方法一（换元法）：令 $t = x + 1$，则 $x = t - 1$

$f(t) = (t - 1)^2 + 2(t - 1) - 1 = t^2 - 2$，所以 $f(x) = x^2 - 2$

方法二（配凑法）：$f(x + 1) = (x^2 + 2x + 1) - 2 = (x + 1)^2 - 2$，所以 $f(x) = x^2 - 2$

💡 换元法是求函数解析式的常用方法，也可以用配凑法直接得到结果。

(1) 不是。$f(x)$ 定义域 $\mathbb{R}$，$g(x)$ 定义域 $x \neq 0$，定义域不同。

(2) 是。$g(x) = \sqrt{x^2} = |x|$，定义域都是 $\mathbb{R}$，对应关系相同。

(3) 不是。$f(x)$ 定义域 $\mathbb{R}$，$g(x) = (\sqrt{x})^2$ 定义域 $x \geq 0$，定义域不同。

💡 判断同一函数需比较：定义域和对应关系。定义域是首要条件！

(1) $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$，奇函数

(2) $f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = f(x)$，偶函数

(3) $f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -f(x)$，奇函数

💡 奇函数：$f(-x) = -f(x)$，图像关于原点对称；偶函数：$f(-x) = f(x)$，图像关于 y 轴对称。

任取 $x_1, x_2 \in (-\infty, 0]$ 且 $x_1 < x_2$，则

$f(x_1) - f(x_2) = (x_1^2 + 1) - (x_2^2 + 1) = x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$

因为 $x_1 < x_2 \leq 0$，所以 $x_1 - x_2 < 0$，$x_1 + x_2 < 0$

所以 $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) > 0$，即 $f(x_1) > f(x_2)$

由定义可知，$f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上 单调递减。

💡 定义法证明单调性步骤：取值→作差→变形→定号→结论。

当 $x > 0$ 时，$f(x) = x^2 - 2x$（已知）

当 $x = 0$ 时，奇函数满足 $f(0) = 0$

当 $x < 0$ 时，$-x > 0$，$f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$

由奇函数性质 $f(x) = -f(-x)$，得 $f(x) = -x^2 - 2x$

综上，$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases}$

💡 已知奇偶性求解析式：利用 $f(x) = \pm f(-x)$ 将未知区间转化到已知区间。

$f(x) = x^2 - 2ax + 1$ 是开口向上的二次函数

对称轴为 $x = a$，在 $[a, +\infty)$ 上单调递增

要 $[2, +\infty) \subseteq [a, +\infty)$，需对称轴 $a \leq 2$

所以 $a$ 的取值范围为 $(-\infty, 2]$

💡 二次函数的单调性与对称轴有关，开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增。

$f(1) = -1 < 0$，$f(2) = 5 > 0$，$[1, 2]$ 上有零点

取中点 $x_1 = 1.5$，$f(1.5) = 0.875 > 0$，零点在 $[1, 1.5]$

取中点 $x_2 = 1.25$，$f(1.25) = -0.297 < 0$，零点在 $[1.25, 1.5]$

取中点 $x_3 = 1.375$，$f(1.375) = 0.224 > 0$，零点在 $[1.25, 1.375]$

取中点 $x_4 = 1.3125$，$f(1.3125) = -0.052 < 0$，零点在 $[1.3125, 1.375]$

区间长度 $1.375 - 1.3125 = 0.0625 < 0.1$，所以零点近似值为 1.3

💡 二分法每次将区间缩小一半，直到区间长度满足精度要求。

设售价提高 $x$ 元，售价 $(50 + x)$ 元，月销量 $(500 - 10x)$ 件

每件利润 $= (50 + x) - 40 = 10 + x$ 元

月利润 $f(x) = (10 + x)(500 - 10x) = -10x^2 + 400x + 5000$

$= -10(x - 20)^2 + 9000$

当 $x = 20$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $9000$，售价 $50 + 20 = 70$ 元

答：售价定为70元时，月利润最大，最大月利润为9000元。

💡 利润问题通常建立二次函数模型，利用配方法或顶点公式求最值。

设经过 $x$ 年，剩余质量 $y = 100 \times (0.9)^x$，由题意 $100 \times (0.9)^x < 50$

$(0.9)^x < 0.5$，两边取常用对数：$x \lg 0.9 < \lg 0.5$

$\lg 0.9 = \lg \frac{9}{10} = \lg 9 - 1 = 2\lg 3 - 1 \approx 2 \times 0.4771 - 1 = -0.0458$

$\lg 0.5 = \lg \frac{1}{2} = -\lg 2 \approx -0.3010$

$x > \frac{-0.3010}{-0.0458} \approx 6.57$，所以至少经过 7年

💡 指数衰减模型 $y = a(1 - r)^t$，利用对数求解不等式。

$f(1) = 0 \Rightarrow 1 - 2m + m + 2 = 0 \Rightarrow 3 - m = 0 \Rightarrow m = 3$

$f(x) = x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$

另一个零点为 $x = 5$

所以 $m = 3$，另一个零点是 $5$

💡 已知一个零点代入求参数，再因式分解求另一个零点。