(1) 正数集合：{3, ²⁄₃, 8}

(2) 负数集合：{−5, −2.5, −0.7, −100}

(3) 整数集合：{−5, 3, 0, 8, −100}

(4) 分数集合：{−2.5, ²⁄₃, −0.7}

💡 0既不是正数也不是负数，但属于整数。

⚠️ 注意 −2.5 和 −0.7 是负数分数，不是整数！

(1) 相反数：−8，绝对值：8

(2) 相反数：5，绝对值：5

(3) 相反数：0，绝对值：0

(4) 相反数：3.6，绝对值：3.6

💡 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

(1) −3 > −5（两个负数比较，绝对值大的反而小）

(2) |−7| > |−4|（7 > 4）

(3) −|−2| = −2，−(−3) = 3，所以 −|−2| < −(−3)

(4) −(+4) = −4，−|−5| = −5，所以 −(+4) > −|−5|

💡 先化简再比较！−(−3) = 3，−|−2| = −2。

由 |a| = 5 得 a = 5 或 a = −5

由 |b| = 3 得 b = 3 或 b = −3

已知 a < b，分别检验：

— 若 a = 5，则无论 b = 3 还是 −3，都有 5 > b，不符合 a < b

— 若 a = −5，b = 3，则 −5 < 3 ✓

— 若 a = −5，b = −3，则 −5 < −3 ✓

所以：a = −5，b = 3 或 a = −5，b = −3

💡 注意绝对值表示距离，所以有两个可能值。

(1) (−12) + 7 = −5（异号，取绝对值较大的符号，12−7=5）

(2) 15 + (−20) = −5（异号，取绝对值较大的符号，20−15=5）

(3) (−8) − (−3) = (−8) + 3 = −5（减法化加法）

(4) 6 − (+9) = 6 + (−9) = −3

💡 减去一个数等于加上这个数的相反数：a − b = a + (−b)

(1) (−2.5) + 3.7 + 2.5 + (−6.7)

 = [(−2.5) + 2.5] + [3.7 + (−6.7)]

 = 0 + (−3) = −3

(2) 18 + (−12) + (−8) + 22

 = (18 + 22) + [(−12) + (−8)]

 = 40 + (−20) = 20

💡 利用交换律和结合律，把同号的或能凑整的放在一起算。

(−3) + 8 − 6 = (−3) + 8 + (−6) = 5 + (−6) = −1（°C）

答：晚上气温是−1°C。

💡 上升用加法，下降用减法（或加负数）。

由 |a| = 3 得 a = 3 或 a = −3

由 |b| = 2 得 b = 2 或 b = −2

所有组合：

— a = 3, b = 2 → 3 + 2 = 5

— a = 3, b = −2 → 3 + (−2) = 1

— a = −3, b = 2 → (−3) + 2 = −1

— a = −3, b = −2 → (−3) + (−2) = −5

所以 a + b 的所有可能值是：5, 1, −1, −5

(1) (−4) × 6 = −24（异号得负）

(2) (−5) × (−8) = 40（同号得正）

(3) (−36) ÷ 9 = −4（异号得负）

(4) (−48) ÷ (−6) = 8（同号得正）

💡 乘法/除法：同号得正，异号得负，绝对值相乘除。

(1) (−2) × 3 × (−5) × (−1)

 负因数个数为3（奇数），结果为负

 2 × 3 × 5 × 1 = 30 → 结果为 −30

(2) (−12) ÷ (−4) × (−3)

 = 3 × (−3) = −9

💡 多个不为0的数连乘，先确定符号（负因数奇数个为负，偶数个为正），再算绝对值相乘。

(1) ¹⁄₅

(2) −¹⁄₃

(3) ⁵⁄₂

(4) −⁴⁄₃

💡 乘积为1的两个数互为倒数。求一个数的倒数，把这个数的分子分母颠倒位置。0没有倒数。

(1) (−3)² = (−3) × (−3) = 9（负数的偶次幂为正）

(2) −3² = −(3 × 3) = −9（先算乘方，再取相反数！）

(3) (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8（负数的奇次幂为负）

(4) −2³ = −(2 × 2 × 2) = −8

⚠️ 注意 (−3)² 和 −3² 的区别！前者是"−3的平方"，后者是"3的平方的相反数"。

(1) 3 800 000 = 3.8 × 10⁶

(2) 92 600 000 000 = 9.26 × 10¹⁰

(3) −5 040 000 = −5.04 × 10⁶

💡 科学记数法：写成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ a < 10。

(1) (−2)² × 3 − 4 ÷ (−¹⁄₂)

 先算乘方：= 4 × 3 − 4 ÷ (−¹⁄₂)

 再算乘除：= 12 − (−8)

 最后算加减：= 12 + 8 = 20

(2) −1⁴ − ¹⁄₆ × [2 − (−3)²]

 先算括号里的乘方：= −1 − ¹⁄₆ × [2 − 9]

 再算括号里：= −1 − ¹⁄₆ × (−7)

 再算乘法：= −1 + ⁷⁄₆

 最后算加减：= ¹⁄₆

💡 混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号里面的。

⚠️ −1⁴ 不等于 (−1)⁴！−1⁴ = −1，而 (−1)⁴ = 1。

(1) 5a − 3

(2) 2(x + y)

(3) m² − 3n

(4) 3a + 7

💡 数字与字母相乘时，数字写在字母前面，乘号省略。

(1) a + b = b + a

(2) a(b + c) = ab + ac

(3) (ab)c = a(bc)

💡 用字母表示运算定律比用文字更简洁明了。

周长：2(a + b)，面积：ab

新长 = a + 2，新宽 = b − 1

新周长 = 2[(a + 2) + (b − 1)] = 2(a + b + 1) = 2(a + b) + 2

💡 周长增加了 2 cm。用字母表示让数量关系一目了然。

(1) ✓（用运算符号把数和字母连接而成）

(2) ✗（含有等号，是等式但不是代数式）

(3) ✓（单独的一个字母也是代数式）

(4) ✗（含有不等号，不是代数式）

💡 代数式中不含"="、"≠"、"<"、">"等关系符号。

(1) 2 × 3 + 3 × (−2) = 6 − 6 = 0

(2) 3² − (−2)² = 9 − 4 = 5

(3) [3 − (−2)]² = (3 + 2)² = 5² = 25

💡 代入时要注意符号！负数要用括号括起来。

由 2x² − 3x + 1 = 6 得：

2x² − 3x = 5

把 4x² − 6x − 5 提取公因式：

4x² − 6x − 5 = 2(2x² − 3x) − 5

= 2 × 5 − 5 = 10 − 5 = 5

💡 整体代入法：不求 x 的具体值，而是利用代数式之间的倍数关系。

(1) ✓（所含字母相同且指数相同）

(2) ✗（x和y的指数不同）

(3) ✓（字母相同，指数相同，与字母顺序无关）

(4) ✓（常数项都是同类项）

💡 同类项判断标准：字母相同，相同字母的指数也相同。

(1) (3 + 5 − 2)a = 6a

(2) 4x + 2x − 7y + 3y = (4 + 2)x + (−7 + 3)y = 6x − 4y

(3) (2a² − a²) + (3a + 5a) − 1 = a² + 8a − 1

💡 合并同类项：系数相加，字母和指数保持不变。

两个单项式是同类项，说明字母的指数对应相同：

x 的指数：a + 1 = 3 → a = 2

y 的指数：2 = b → b = 2

所以 a + b = 2 + 2 = 4

💡 同类项要求相同字母的指数相同，由此列出方程求指数中的未知数。

(1) ✗（不含未知数，只是等式）

(2) ✓（含有未知数且是等式）

(3) ✗（不是等式，是代数式）

(4) ✓（含有未知数且是等式）

💡 方程必须同时满足两个条件：①含有未知数；②是等式。

(1) 设这个数为 x，则 3x − 5 = 16

(2) 设女生有 x 人，则男生有 (2x − 6) 人

 方程：x + (2x − 6) = 45

💡 列方程的步骤：设未知数 → 找等量关系 → 列方程。

(1) 左边 = 2 × 3 + 5 = 6 + 5 = 11 = 右边 → 是方程的解

(2) 左边 = 3 × (3 − 1) = 3 × 2 = 6

 右边 = 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7

 左边 ≠ 右边 → 不是方程的解

💡 检验方法：把未知数的值代入方程，看左右两边是否相等。

(1) 4x − 7 = 13 → 移项：4x = 13 + 7 → 4x = 20 → x = 5

(2) 3x + 8 = 2x − 1 → 移项：3x − 2x = −1 − 8 → x = −9

(3) 5(x − 2) = 25 → 去括号：5x − 10 = 25 → 5x = 35 → x = 7

💡 解方程口诀："去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1"

⚠️ 移项要变号！3x + 8 = 2x − 1 移项后是 3x − 2x = −1 − 8。