（1）归纳奠基：当 $n = 1$ 时，左边 $= 1$，右边 $= \dfrac{1 \times 2}{2} = 1$，等式成立。

（2）归纳递推：假设当 $n = k$（$k \geq 1$）时等式成立，即

$1 + 2 + 3 + \cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$

则当 $n = k+1$ 时：

$1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \dfrac{k(k+1)}{2} + (k+1)$

$= (k+1)\left(\dfrac{k}{2} + 1\right) = (k+1) \cdot \dfrac{k+2}{2} = \dfrac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}$

即 $n = k+1$ 时等式也成立。

（3）结论：由（1）（2）可知，对任意正整数 $n$，等式成立。

💡 数学归纳法的两个步骤缺一不可：奠基和递推。

（1）当 $n = 1$ 时，左边 $= 1$，右边 $= \dfrac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1$，等式成立。

（2）假设 $n = k$ 时等式成立，即 $1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

则 $n = k+1$ 时：

$1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2$

$= \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$

$= \dfrac{k+1}{6}[k(2k+1) + 6(k+1)]$

$= \dfrac{k+1}{6}(2k^2 + k + 6k + 6) = \dfrac{k+1}{6}(2k^2 + 7k + 6)$

$= \dfrac{k+1}{6}(k+2)(2k+3) = \dfrac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}$

等式也成立。

（3）由（1）（2）可知，对任意正整数 $n$，等式成立。

💡 归纳递推的关键是将 $n=k$ 的假设代入 $n=k+1$ 的表达式推导。

（1）当 $n = 1$ 时，$4^1 - 1 = 3$，能被 3 整除，命题成立。

（2）假设当 $n = k$（$k \geq 1$）时命题成立，即 $4^k - 1$ 能被 3 整除。

则当 $n = k+1$ 时：

$4^{k+1} - 1 = 4 \times 4^k - 1 = 4(4^k - 1) + 4 - 1 = 4(4^k - 1) + 3$

因为 $4^k - 1$ 能被 3 整除，所以 $4(4^k - 1)$ 也能被 3 整除，

又因为 3 能被 3 整除，所以 $4(4^k - 1) + 3$ 能被 3 整除。

即 $n = k+1$ 时命题也成立。

（3）由（1）（2）可知，对任意正整数 $n$，$4^n - 1$ 能被 3 整除。

💡 整除问题的归纳法证明，关键是构造出含 $n=k$ 时假设的形式。

(1) $A + B = \begin{pmatrix} 1+0 & 3+1 \\ 2+(-2) & -1+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $3A = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}$

(3) $2A - B = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 6 & -6 \end{pmatrix}$

💡 矩阵加法：对应位置元素相加；数乘：每个元素乘以该数。

(1) $AB = \begin{pmatrix} 1 \times 0 + 2 \times 2 & 1 \times 1 + 2 \times (-1) \\ 3 \times 0 + 4 \times 2 & 3 \times 1 + 4 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 8 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $BA = \begin{pmatrix} 0 \times 1 + 1 \times 3 & 0 \times 2 + 1 \times 4 \\ 2 \times 1 + (-1) \times 3 & 2 \times 2 + (-1) \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $AB \neq BA$，验证了矩阵乘法不满足交换律。

💡 矩阵乘法规则：$(AB)_{ij} = \sum a_{ik}b_{kj}$，前矩阵列数必须等于后矩阵行数。

(1) $B$ 是 $1 \times 2$ 矩阵，$A$ 是 $2 \times 2$ 矩阵

$BA$：$1 \times 2$ 乘以 $2 \times 2$，有意义。$BA = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 1 \times 1 & 1 \times 1 + 1 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \end{pmatrix}$

$AB$：$2 \times 2$ 乘以 $1 \times 2$，前矩阵列数(2) ≠ 后矩阵行数(1)，无意义。

(2) $A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+1 & 2-1 \\ 2-1 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

💡 矩阵乘法要求前矩阵的列数等于后矩阵的行数，否则无意义。

设 $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则：

$AX = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-c & b-d \\ 2a+2c & 2b+2d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

列方程组：

$\begin{cases} a - c = 3 \\ b - d = 0 \\ 2a + 2c = 2 \\ 2b + 2d = 4 \end{cases}$

由 $2a + 2c = 2$ 得 $a + c = 1$，与 $a - c = 3$ 联立解得 $a = 2$，$c = -1$

由 $b - d = 0$ 得 $b = d$，代入 $2b + 2d = 4$ 得 $4b = 4$，$b = 1$，$d = 1$

所以 $X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

💡 矩阵方程可转化为方程组求解，利用矩阵乘法将未知元素对应列出方程。

(1) $3 \times 4 - 5 \times 2 = 12 - 10 = 2$

(2) $2 \times 2 - (-1) \times 3 = 4 + 3 = 7$

(3) $a \times b - b \times a = 0$（两行对应成比例，值为零）

💡 二阶行列式公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$。

用对角线法则展开：

主对角线方向：$1 \times 1 \times 1 + 2 \times 2 \times 3 + 3 \times 2 \times 2$

$= 1 + 12 + 12 = 25$

副对角线方向：$3 \times 1 \times 3 + 2 \times 2 \times 1 + 1 \times 2 \times 2$

$= 9 + 4 + 4 = 17$

行列式值 $= 25 - 17 = 8$

💡 三阶行列式对角线法则：主对角线方向乘积之和减去副对角线方向乘积之和。

观察第2行：$(2, 0, 0)$，有两个零，按第2行展开：

$= 2 \times (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 0 + 0$

$= -2 \times (2 \times 1 - (-1) \times 4) = -2 \times (2 + 4) = -2 \times 6 = -12$

💡 利用行列式按行（列）展开定理，选择含零多的行可简化计算。

左边 $= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}$

将第1行乘以 $(-a)$ 加到第2行，第1行乘以 $(-a^2)$ 加到第3行：

$= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & b-a & c-a \\ 0 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix}$

$= \begin{vmatrix} b-a & c-a \\ b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix}$（按第1列展开）

$= \begin{vmatrix} b-a & c-a \\ (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) \end{vmatrix}$

提取 $(b-a)$ 和 $(c-a)$：$= (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ b+a & c+a \end{vmatrix}$

$= (b-a)(c-a)[(c+a) - (b+a)] = (b-a)(c-a)(c-b)$

得证。

💡 范德蒙德行列式的特点：每一列是同一个数的不同幂次，结果等于各数差的乘积。

系数行列式 $D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 2 \times (-3) - 1 \times 1 = -6 - 1 = -7 \neq 0$

$D_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ -1 & -3 \end{vmatrix} = 7 \times (-3) - 1 \times (-1) = -21 + 1 = -20$

$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \times (-1) - 7 \times 1 = -2 - 7 = -9$

$x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-20}{-7} = \dfrac{20}{7}$，$y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{-9}{-7} = \dfrac{9}{7}$

所以方程组的解为 $\left(\dfrac{20}{7},\ \dfrac{9}{7}\right)$。

💡 克拉默法则：$x_i = D_i / D$，其中 $D_i$ 是将系数行列式的第 $i$ 列换成常数项。

写成矩阵形式：$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}$

系数行列式 $D = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 - 2 = -5 \neq 0$

用克拉默法则：

$D_x = \begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -8 - 2 = -10$，$x = \dfrac{-10}{-5} = 2$

$D_y = \begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 8 = -5$，$y = \dfrac{-5}{-5} = 1$

所以方程组的解为 $(2,\ 1)$。

验算：$3 \times 2 + 2 \times 1 = 6 + 2 = 8$ ✓，$2 - 1 = 1$ ✓

💡 矩阵解线性方程组本质上是利用矩阵乘法和克拉默法则。

矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 表示逆时针旋转 90°的旋转变换。

点 $(1, 2)$ 的像：$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \times 1 + (-1) \times 2 \\ 1 \times 1 + 0 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

所以点 $(1, 2)$ 经过变换后的像为 $(-2, 1)$。

💡 常用变换矩阵：旋转90°为 $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，反射为 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 等。

(1) 设甲生产 $x$ 件，乙生产 $y$ 件

矩阵形式：$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 \\ 15 \end{pmatrix}$

(2) 系数行列式 $D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5 \neq 0$

$D_x = \begin{vmatrix} 18 & 1 \\ 15 & 3 \end{vmatrix} = 54 - 15 = 39$，$x = \dfrac{39}{5} = 7.8$

$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 18 \\ 1 & 15 \end{vmatrix} = 30 - 18 = 12$，$y = \dfrac{12}{5} = 2.4$

因为产品数必须为整数，需要调整方案：

取 $x = 7$，$y = 4$ 时：加工 $2 \times 7 + 4 = 18$，装配 $7 + 3 \times 4 = 19$（装配超时）

取 $x = 8$，$y = 2$ 时：加工 $2 \times 8 + 2 = 18$，装配 $8 + 6 = 14$（装配有剩余）

所以整数解需要结合实际情况调整，连续解为甲 7.8 件、乙 2.4 件。

💡 实际问题中需注意解的整数约束，矩阵方法给出的是精确解。

(1) ✓ 是算法——有明确的步骤和顺序。

(2) ✗ 不是算法——不够具体明确，不满足确定性。

(3) ✓ 是算法——有明确的操作步骤，符合有穷性、确定性。

💡 算法的五个特征：有穷性、确定性、可行性、有输入、有输出。

第1步：令 $S = 1$，$n = 1$

第2步：如果 $n > 10$，则输出 $S$ 并结束

第3步：$S = S \times n$

第4步：$n = n + 1$，返回第2步

计算结果：$1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 10 = 3,628,800$

💡 累乘算法的关键是设置好循环条件和累乘变量。

第1步：输入正整数 $n$（$n > 1$）

第2步：令 $i = 2$

第3步：如果 $i \leq \sqrt{n}$，转第4步；否则输出"是质数"并结束

第4步：如果 $n$ 能被 $i$ 整除（即 $n \bmod i = 0$），输出"不是质数"并结束

第5步：$i = i + 1$，返回第3步

💡 判断质数只需检查到 $\sqrt{n}$ 即可，不必检查到 $n-1$。

第1步：令 $a = 1$，$b = 2$，$\varepsilon = 0.01$

第2步：如果 $b - a < \varepsilon$，则输出 $\dfrac{a+b}{2}$ 并结束

第3步：令 $c = \dfrac{a+b}{2}$

第4步：计算 $f(c) = c^2 - 3$

第5步：如果 $f(a) \times f(c) < 0$，则 $b = c$；否则 $a = c$

第6步：返回第2步

① $a=1, b=2$，$c=1.5$，$f(1.5)=2.25-3=-0.75<0$，$f(1)\times f(1.5)>0$，取 $a=1.5$

② $a=1.5, b=2$，$c=1.75$，$f(1.75)=3.0625-3=0.0625>0$，$f(1.5)\times f(1.75)<0$，取 $b=1.75$

③ $a=1.5, b=1.75$，$c=1.625$，$f(1.625)=2.6406-3=-0.3594<0$，取 $a=1.625$

④ $a=1.625, b=1.75$，$b-a=0.125>0.01$，$c=1.6875$，$f(1.6875)=2.8477-3=-0.1523<0$，取 $a=1.6875$

⑤ $a=1.6875, b=1.75$，$b-a=0.0625>0.01$，$c=1.7188$，$f(1.7188)=2.9542-3=-0.0458<0$，取 $a=1.7188$

⑥ $a=1.7188, b=1.75$，$b-a=0.0312>0.01$，$c=1.7344$，$f(1.7344)=3.0081-3=0.0081>0$，取 $b=1.7344$

⑦ $a=1.7188, b=1.7344$，$b-a=0.0156>0.01$，$c=1.7266$，$f(1.7266)\approx -0.0189<0$，取 $a=1.7266$

⑧ $a=1.7266, b=1.7344$，$b-a=0.0078<0.01$，输出 $\dfrac{1.7266+1.7344}{2} \approx 1.73$

所以方程的近似解为 1.73（精确值 $\sqrt{3} \approx 1.732$）。

💡 二分法利用零点定理，每次将区间缩小一半，直到满足精度要求。

(1) ✓ 正确

(2) ✗ 错误——平行四边形框是输入/输出框，判断框是菱形框

(3) ✓ 正确

(4) ✗ 错误——菱形框是判断框，输入/输出框是平行四边形框

💡 记忆口诀：起止圆角，处理矩形，判断菱形，输入输出平行四边形。

程序框图描述（用文字表示各框）：

    ┌──────────────┐
    │  开始(圆角矩形) │
    └──────┬───────┘
           ↓
    ┌──────────────┐
    │ 输入 x(平行四边形) │
    └──────┬───────┘
           ↓
        ┌───┴───┐
        │ x ≥ 0? │(菱形判断框)
        └───┬───┘
      是↙      ↘否
    ┌──────┐   ┌────────┐
    │y=2x  │   │y=-3x+1 │(矩形处理框)
    └──┬───┘   └───┬────┘
       ↕           ↕
    ┌──────┴──────┐
    │  输出 y(平行四边形) │
    └──────┬───────┘
           ↓
    ┌──────────────┐
    │   结束(圆角矩形)  │
    └──────────────┘
    

这个程序框图使用了顺序结构和条件结构（if-then-else）。

💡 条件结构用菱形判断框实现，根据条件成立与否选择不同的分支。

判断框中的条件是 $i \leq 100$ 或 $i \leq 100$。

这是当型循环（while循环）——先判断条件，满足则进入循环体，不满足则退出。

如果是直到型循环，应该先执行循环体再判断，条件应为 $i > 100$ 时退出。

最终结果：$S = 100 \times 101 \div 2 = 5050$

💡 当型循环（while）先判断后执行；直到型循环（until）先执行后判断。

这是计算斐波那契数列（Fibonacci）第 $n$ 项的算法。

$F_1 = 1$，$F_2 = 1$

$i=3$：$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$

$i=4$：$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$

$i=5$：$F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$

$i=6$：$F_6 = F_5 + F_4 = 5 + 3 = 8$

$i=7 > 6$，输出 $F_6 = 8$

最终输出：8

💡 斐波那契数列的递推关系：$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$（$n \geq 3$），$F_1=F_2=1$。

    Read x
    If x > 0 Then
        Print "正数"
    Else
        Print "非正数"
    End If
    

说明：

💡 条件语句的完整格式：If 条件 Then 语句1 Else 语句2 End If。

    S ← 0
    For i = 1 To 99 Step 2
        S ← S + i
    End For
    Print S
    

循环变量 $i$ 从 1 开始，每次增加 2（Step 2），直到 99：1, 3, 5, ..., 99

共 50 个奇数相加

$S = 1 + 3 + 5 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500$

💡 等差数列求和：前 $n$ 个奇数的和等于 $n^2$。For循环中 Step 表示步长。

    S ← 0
    n ← 0
    While S < 100
        n ← n + 1
        S ← S + n
    End While
    Print n
    

初始 $S=0$，$n=0$

第1次：$n=1$，$S=1$；第2次：$n=2$，$S=3$；第3次：$n=3$，$S=6$；

第4次：$n=4$，$S=10$；第5次：$n=5$，$S=15$；...

第13次：$n=13$，$S=91$；第14次：$n=14$，$S=105$

此时 $S=105 \geq 100$，条件不满足，退出循环。

💡 While 循环是当型循环：条件满足时才执行循环体，条件不满足就退出。

追踪变量变化：

关键操作：$t = x + y$ 计算新项，$x = y$ 和 $y = t$ 完成变量更新。

💡 变量追踪（desk check）是理解程序运行过程的重要方法，可手动模拟每一步的变量值变化。