(1) $\sqrt{36} = \pm 6$

(2) $\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm \frac{3}{4}$

(3) $\sqrt{0.01} = \pm 0.1$

(4) $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = \pm 5$

💡 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

(1) $\sqrt[3]{27} = 3$

(2) $\sqrt[3]{-8} = -2$

(3) $\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$

(4) $\sqrt[3]{0} = 0$

💡 负数的立方根是负数，正数的立方根是正数，0的立方根是0。

(1) $5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$

(2) $2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$

(3) $a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$

💡 分数指数幂 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$，分母为根指数，分子为被开方数的指数。

(1) $\sqrt{25} - \sqrt[3]{27} = 5 - 3 = \mathbf{2}$

(2) $\sqrt{0.16} + \sqrt[3]{-0.008} = 0.4 + (-0.2) = \mathbf{0.2}$

(3) $\sqrt{(-3)^2} + \sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt{9} + \sqrt[3]{-8} = 3 + (-2) = \mathbf{1}$

⚠️ 注意 $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$，而不是 $-3$！

大小关系：$-2 < -\sqrt{3} < 0 < \sqrt{5} < \pi$

💡 因为 $\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{5} \approx 2.236$，$\pi \approx 3.142$，所以 $-\sqrt{3} \approx -1.732$。

有理数：$3.14$（有限小数），$\frac{22}{7}$（分数），$\sqrt[3]{8}=2$（整数）

无理数：$\sqrt{2}$（开方开不尽），$\pi$（无限不循环小数），$0.1010010001\ldots$（有规律但不循环）

💡 有理数包括整数、有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数。

(1) $(-2)^3 + \sqrt{16} - \sqrt[3]{-27} = -8 + 4 - (-3) = -8 + 4 + 3 = \mathbf{-1}$

(2) $\sqrt{\frac{4}{9}} \times \sqrt{25} - \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} \times 5 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3} - \frac{2}{3} = \frac{8}{3} = \mathbf{2\frac{2}{3}}$

💡 注意运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。

因为 $|a-2| \ge 0$，$\sqrt{b+3} \ge 0$，且两者之和为0，

所以 $|a-2| = 0$ 且 $\sqrt{b+3} = 0$

解得 $a = 2$，$b = -3$

所以 $a^b = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \mathbf{\frac{1}{8}}$

💡 非负数之和为0，每个非负数必然为0。非负数包括绝对值、平方根（算术平方根）、平方数。

(1) 由 $x-3 \ge 0$，得 $x \ge \mathbf{3}$

(2) 由 $2x+1 \ge 0$，得 $x \ge \mathbf{-\frac{1}{2}}$

(3) 由 $-x \ge 0$，得 $x \le \mathbf{0}$

(4) 因为 $x^2+1 \ge 1 > 0$，所以 $x$ 取 全体实数

💡 二次根式 $\sqrt{a}$ 有意义的条件是 $a \ge 0$。

(1) $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

💡 把被开方数分解成平方因数×非平方因数，平方因数开方后移到根号外。

(1) $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$（不是 $-5$！）

(2) 因为 $\pi > 3$，所以 $3-\pi < 0$，$\sqrt{(3-\pi)^2} = |3-\pi| = \mathbf{\pi-3}$

(3) $(\sqrt{2})^2 = \mathbf{2}$

(4) $\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}$

⚠️ 易错点：$\sqrt{a^2} = |a|$，不是 $a$！一定要考虑正负号。

(1) $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ → 是同类二次根式

(2) $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，$\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ → 不是同类二次根式

(3) $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{3}$ 被开方数不同 → 不是同类二次根式

(4) $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$，$\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ → 是同类二次根式

💡 先将每个二次根式化为最简形式，再看被开方数是否相同。

(1) $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \mathbf{\sqrt{6}}$

(2) $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{6 \div 2} = \mathbf{\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{5} \times \sqrt{20} = \sqrt{5 \times 20} = \sqrt{100} = \mathbf{10}$

(4) $\sqrt{15} \div \sqrt{3} = \sqrt{15 \div 3} = \sqrt{5}$

💡 $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a\ge0,b\ge0$），$\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\ge0,b>0$）。

(1) $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3+5-2)\sqrt{2} = \mathbf{6\sqrt{2}}$

(2) $\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = (3-2+1)\sqrt{3} = \mathbf{2\sqrt{3}}$

(3) $2\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{32} = 2\times 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = \mathbf{3\sqrt{2}}$

💡 二次根式的加减法：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

(2) $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \mathbf{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{6}}{3}}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1 \times (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \mathbf{\sqrt{2}+1}$

💡 分母含一个根号：分子分母同乘分母中的根号；分母含两个根号：利用平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

$= (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$（平方差公式）

$= 3 - 2 = \mathbf{1}$

💡 形如 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ 可以利用平方差公式快速计算。

(1) 是一元二次方程

(2) 不是（含有两个未知数 $x$ 和 $y$）

(3) 不是（$\frac{1}{x}$ 不是整式）

(4) 不一定，当 $a \ne 0$ 时是一元二次方程，当 $a=0$ 时不是

💡 一元二次方程的三个条件：① 一个未知数；② 最高次数2；③ 整式方程。

(1) 一般形式：$2x^2 - 3x + 5 = 0$

二次项系数：2，一次项系数：-3，常数项：5

(2) 一般形式：$x^2 - x - 5 = 0$（因为 $x^2 - x - 2 = 3$ → $x^2 - x - 5 = 0$）

二次项系数：1，一次项系数：-1，常数项：-5

💡 一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \ne 0$），移项时注意变号。

(1) $x = \pm \sqrt{25} = \pm 5$，$x_1 = \mathbf{5}$，$x_2 = \mathbf{-5}$

(2) $x-3 = \pm 4$，$x_1 = 7$，$x_2 = \mathbf{-1}$

(3) $2x^2 = 8$，$x^2 = 4$，$x = \pm 2$，$x_1 = \mathbf{2}$，$x_2 = \mathbf{-2}$

💡 直接开平方法适用于 $(x+m)^2 = n$（$n \ge 0$）的形式。

$x^2 + 6x + 5 = 0$

移项：$x^2 + 6x = -5$

配方：两边同时加 $(6 \div 2)^2 = 9$

$x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$

$(x+3)^2 = 4$

$x+3 = \pm 2$

$x_1 = \mathbf{-1}$，$x_2 = \mathbf{-5}$

💡 配方法口诀："移常数项，系数化1，加一半平方，开平方求解"。

$a=2$，$b=-3$，$c=-2$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{3+5}{4} = \mathbf{2}$，$x_2 = \frac{3-5}{4} = \mathbf{-\frac{1}{2}}$

💡 公式法是"万能解法"，代入公式前先确认 $a$、$b$、$c$ 的值（注意符号！）。

(1) $(x+3)(x-3) = 0$，$x_1 = \mathbf{-3}$，$x_2 = \mathbf{3}$

(2) $(x-2)(x-3) = 0$，$x_1 = \mathbf{2}$，$x_2 = \mathbf{3}$

(3) $3x(x-2) - 2(x-2) = 0$，$(x-2)(3x-2) = 0$

$x_1 = \mathbf{2}$，$x_2 = \mathbf{\frac{2}{3}}$

⚠️ 注意第(3)题不能两边直接约去 $(x-2)$！这样会丢失 $x=2$ 这个根。

(1) $\Delta = 3^2 - 4\times1\times(-4) = 9 + 16 = 25 > 0$ → 两个不相等的实数根

(2) $\Delta = (-2)^2 - 4\times1\times1 = 4 - 4 = 0$ → 两个相等的实数根

(3) $\Delta = 1^2 - 4\times2\times3 = 1 - 24 = -23 < 0$ → 没有实数根

💡 判断根的情况只需计算判别式 $\Delta = b^2-4ac$ 的符号。

方程有两个相等的实数根，则 $\Delta = 0$

$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times m = 4 - 4m$

令 $4 - 4m = 0$，解得 $m = \mathbf{1}$

所以当 $m=1$ 时，方程有两个相等的实数根。

💡 利用判别式的条件反求参数的值。

由韦达定理：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \mathbf{5}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \mathbf{6}$

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5^2 - 2 \times 6 = 25 - 12 = \mathbf{13}$

💡 求对称式值时，常用 $x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ 进行转化。

设另一个根为 $x_2$

由韦达定理：$2 + x_2 = \frac{5}{2}$，解得 $x_2 = \frac{1}{2}$

验证：$2 \times x_2 = \frac{2}{2} = 1 = \frac{c}{a} = \frac{2}{2} = 1$ ✓

所以另一个根为 $\frac{1}{2}$

💡 已知一根求另一根时，用韦达定理的和或积都可以求解。

设年平均增长率为 $x$

方程：$100(1+x)^2 = 144$

$(1+x)^2 = 1.44$

$1+x = \pm 1.2$（增长率不能为负，取正值）

$x = 0.2 = \mathbf{20\%}$

答：年平均增长率为 20%。

💡 增长率公式：$a(1+x)^n = b$，其中 $a$ 为初始量，$x$ 为增长率，$n$ 为年数，$b$ 为最终量。

设宽为 $x$ 米，则长为 $(x+5)$ 米

方程：$x(x+5) = 84$

$x^2 + 5x - 84 = 0$

$(x+12)(x-7) = 0$

$x_1 = -12$（舍去），$x_2 = 7$

宽为 7米，长为 $7+5 = \mathbf{12米}$

答：这块绿地的长为12米，宽为7米。

验算：$12 \times 7 = 84$ ✓

设较小的正整数为 $x$，则较大的为 $x+1$

方程：$x(x+1) = 30$

$x^2 + x - 30 = 0$

$(x+6)(x-5) = 0$

$x_1 = -6$（舍去，不是正整数），$x_2 = 5$

所以这两个数为 5 和 6

验算：$5 \times 6 = 30$ ✓

设较小的正整数为 $x$，则较大的为 $x+1$

方程：$x(x+1) = 30$

$x^2 + x - 30 = 0$

$(x+6)(x-5) = 0$

$x_1 = -6$（舍去，不是正整数），$x_2 = 5$

所以这两个数为 5 和 6

验算：$5 \times 6 = 30$ ✓

设汽车原来的速度为 $x$ 千米/小时

原时间：$\frac{180}{x}$ 小时，新速度：$(x+15)$ 千米/小时

新时间：$\frac{180}{x+15}$ 小时

方程：$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+15} = 1$

两边同乘 $x(x+15)$：

$180(x+15) - 180x = x(x+15)$

$180x + 2700 - 180x = x^2 + 15x$

$x^2 + 15x - 2700 = 0$

$(x+60)(x-45) = 0$

$x_1 = -60$（舍去），$x_2 = 45$

答：汽车原来的速度为 45千米/小时。

验算：原时间 $180 \div 45 = 4$ 小时，新时间 $180 \div 60 = 3$ 小时，减少1小时 ✓

(1) $\angle B = 90^\circ - 35^\circ = \mathbf{55^\circ}$

(2) 设 $\angle B = x$，则 $\angle A = 2x$

由 $x + 2x = 90^\circ$，得 $3x = 90^\circ$，$x = 30^\circ$

所以 $\angle A = \mathbf{60^\circ}$，$\angle B = \mathbf{30^\circ}$

💡 直角三角形两锐角互余：$\angle A + \angle B = 90^\circ$。

根据30°角的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半

$BC$ 是 $30^\circ$ 角 $\angle A$ 的对边，$AB$ 是斜边

所以 $BC = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 10 = \mathbf{5}$

由勾股定理：$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75$

$AC = \sqrt{75} = \mathbf{5\sqrt{3}}$

💡 30°-60°-90°直角三角形的三边比例为 $1 : \sqrt{3} : 2$。

由30°角性质：$BC = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 8 = 4$

斜边中线性质：$CD = \frac{1}{2} \times AB = 4$，所以 $CD = BC = 4$

在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

在 $Rt\triangle CDE$ 中，$\angle DCE = \angle A = 30^\circ$（因为 $\triangle BCD$ 是等腰三角形，$\angle B = 60^\circ$）

所以 $DE = \frac{1}{2} \times CD = \frac{1}{2} \times 4 = \mathbf{2}$

💡 综合利用30°角性质、斜边中线性质和勾股定理，关键是找出各角度关系。

根据角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等

因为点 $P$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上，且 $PD \perp OA$，$PE \perp OB$

所以 $PE = PD = \mathbf{3}$

💡 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

$\angle C = 180^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 40^\circ$

$AD$ 平分 $\angle A$，所以 $\angle BAD = \angle CAD = 80^\circ \div 2 = 40^\circ$

在 $\triangle ADC$ 中，$\angle ADC = 180^\circ - \angle CAD - \angle C = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = \mathbf{100^\circ}$

💡 先利用三角形内角和求第三个角，再根据角平分线性质求角度。

(1) $c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = \mathbf{10}$

(2) $b = \sqrt{c^2-a^2} = \sqrt{13^2-5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = \mathbf{12}$

(3) $a = \sqrt{c^2-b^2} = \sqrt{15^2-12^2} = \sqrt{225-144} = \sqrt{81} = \mathbf{9}$

💡 勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$，灵活应用求任意一边。

(1) $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ → 是直角三角形

(2) $5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \ne 7^2 = 49$ → 不是直角三角形

(3) $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ → 是直角三角形

💡 勾股定理的逆定理：若三角形三边满足 $a^2+b^2=c^2$，则该三角形是直角三角形（$c$ 为最长边）。

梯子、墙面和地面构成直角三角形

梯子为斜边 $c = 2.5$ 米，梯脚到墙根为一条直角边 $b = 0.7$ 米

梯子上端到地面的高度 $h = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{2.5^2 - 0.7^2} = \sqrt{6.25 - 0.49} = \sqrt{5.76} = \mathbf{2.4}$（米）

答：梯子上端到地面的高度为 2.4米。

💡 梯子问题模型：梯长² = 墙高² + 梯脚距²。

过 $A$ 作 $AD \perp BC$ 于 $D$，设 $BD = x$，则 $DC = 14 - x$

在 $Rt\triangle ABD$ 中：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 13^2 - x^2$

在 $Rt\triangle ACD$ 中：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 15^2 - (14-x)^2$

所以 $13^2 - x^2 = 15^2 - (14-x)^2$

$169 - x^2 = 225 - (196 - 28x + x^2)$

$169 - x^2 = 225 - 196 + 28x - x^2$

$169 = 29 + 28x$

$28x = 140$，$x = 5$

$AD = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 14 \times 12 = \mathbf{84}$

💡 已知三角形三边求面积：作高后利用勾股定理列方程求出高，再用面积公式计算。