复变函数 · 知识点全解

> 参考教材：西安交通大学《复变函数》第四版（高等教育出版社）

> 适用对象：数学、物理、电子信息等专业 | 先修：高等数学

目录结构

章节名称核心主题难度
第1章复数与复变函数复数运算、区域、映射⭐⭐
第2章解析函数柯西-黎曼方程、初等解析函数⭐⭐⭐
第3章复变函数的积分柯西积分定理、柯西积分公式⭐⭐⭐
第4章级数泰勒级数、洛朗级数⭐⭐⭐
第5章留数留数定理、实积分计算⭐⭐⭐⭐
第6章共形映射分式线性映射⭐⭐⭐

第1章 复数与复变函数

1.1 复数

  • z = x + iy（实部x、虚部y）
  • 三角形式：z = r(cos θ + i sin θ)，r = |z|
  • 指数形式：z = re^(iθ)（欧拉公式 e^iθ = cos θ + i sin θ）
  • 共轭复数：z̅ = x − iy

    • 1.2 复数的运算

  • 加减：对应实部虚部分别加减
  • 乘除：(r₁e^iθ₁)(r₂e^iθ₂) = r₁r₂ e^i(θ₁+θ₂)
  • 棣莫弗公式： (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
  • 开方：z^(1/n) = r^(1/n)·e^i(θ+2kπ)/n

    • 1.3 区域与曲线

  • 邻域、内点、开集、区域、边界
  • 简单曲线（Jordan曲线）、光滑曲线
  • 单连通域与多连通域

    • 1.4 复变函数

  • 定义：w = f(z)
  • 映射的概念：从z平面到w平面的变换

    • 第2章 解析函数（重点 ⭐⭐⭐）

    2.1 导数

  • f'(z₀) = lim [f(z)−f(z₀)]/(z−z₀)
  • 求导法则与实函数类似

    • 2.2 解析函数

  • 定义： f(z)在z₀及其邻域内可导 ⇒ f(z)在z₀解析
  • 解析 ⇔ 可导（在区域内）
  • 奇点：不解析的点

    • 2.3 柯西-黎曼方程（C-R方程）

  • uₓ = vᵧ, uᵧ = −vₓ
  • 充要条件： u和v可微 + 满足C-R方程 ⇒ f(z)=u+iv解析
  • 解析函数的实部与虚部是共轭调和函数

    • 2.4 初等解析函数

  • 指数函数： eᶻ = eˣ(cos y + i sin y)，周期2πi
  • 三角函数： sin z = (e^iz−e^−iz)/(2i)，cos z = (e^iz+e^−iz)/2
  • 对数函数： Ln z = ln|z| + i Arg z（多值），主值 ln z = ln|z| + i arg z
  • 幂函数： z^a = e^(a Ln z)

    • 第3章 复变函数的积分

    3.1 复积分的概念与性质

  • ∫f(z)dz = ∫(u+iv)(dx+idy)
  • 性质：线性、方向性、积分估值

    • 3.2 柯西积分定理

  • f(z)在单连通域D内解析 ⇒ 沿D内任意闭曲线积分为0
  • 推广： 复围线（多连通域）

    • 3.3 原函数与牛顿-莱布尼茨公式

  • 解析函数的积分与路径无关

    • 3.4 柯西积分公式

  • f(z₀) = (1/2πi)∮f(z)/(z−z₀)dz

    • 3.5 高阶导数公式

  • f⁽ⁿ⁾(z₀) = (n!/2πi)∮f(z)/(z−z₀)^(n+1)dz

    • 3.6 解析函数的平均值定理

  • 解析函数在圆心的值等于圆周上值的平均值

    • 第4章 级数

    4.1 复数项级数

  • 收敛性、绝对收敛

    • 4.2 幂级数

  • 泰勒级数： f(z) = Σf⁽ⁿ⁾(z₀)/n!·(z−z₀)ⁿ
  • 收敛半径、收敛圆

    • 4.3 洛朗级数

  • 在圆环域内展开：f(z) = Σcₙ(z−z₀)ⁿ（n从−∞到∞）
  • 负幂项部分称为主要部分

    • 4.4 孤立奇点的分类

  • 可去奇点： 洛朗级数无负幂项
  • 极点： 有限个负幂项
  • 本性奇点： 无穷多个负幂项

    • 第5章 留数（重点 ⭐⭐⭐⭐）

    5.1 留数的定义

  • Res[f(z), z₀] = c₋₁（洛朗级数的负一次项系数）
  • 留数定理：∮f(z)dz = 2πi·ΣRes[f(z), zₖ]

    • 5.2 留数的计算

  • 一级极点： Res[f(z), z₀] = lim(z−z₀)f(z)
  • m级极点： Res[f(z), z₀] = 1/(m−1)!·lim d^(m−1)/dz^(m−1)[(z−z₀)ᵐf(z)]

    • 5.3 留数在实积分中的应用

  • 计算 ∫_₋∞^∞ R(x)dx 型积分
  • 计算 ∫₀^²π R(cos θ, sin θ)dθ 型积分
  • 计算 ∫_₋∞^∞ f(x)e^(iλx)dx 型积分（Fourier变换）

    • 第6章 共形映射

    6.1 共形映射的概念

  • 保角性（角度不变）+ 伸缩率不变

    • 6.2 分式线性映射

  • w = (az+b)/(cz+d), ad−bc≠0
  • 保圆性：将圆周（直线）映射为圆周（直线）
  • 三种基本映射： 平移、旋转/伸缩、反演/对称

    • 6.3 几个重要映射

  • w = z^a 将角形域映射为角形域
  • w = eᶻ 将带形域映射为角形域
  • 上半平面到单位圆的映射

    • 🔑 重要公式速查

    类别公式
    欧拉公式e^iθ = cos θ + i sin θ
    棣莫弗公式(cos θ+i sin θ)ⁿ=cos nθ+i sin nθ
    C-R方程uₓ=vᵧ, uᵧ=−vₓ
    柯西积分定理∮f(z)dz=0（单连通域内解析）
    柯西积分公式f(z₀)=(1/2πi)∮f(z)/(z−z₀)dz
    高阶导数f⁽ⁿ⁾(z₀)=n!/2πi·∮f(z)/(z−z₀)^(n+1)dz
    留数定理∮f(z)dz=2πi·ΣRes[f(z),zₖ]
    一级极点留数Res[f(z),z₀]=lim(z−z₀)f(z)

    📝 配套练习题

    第1章 · 复数与复变函数 练习题

    练习1 — 复数

    第1题 基础

    已知复数 $z_1 = 3 + 4i$，$z_2 = 1 - 2i$，求：

    (1) $z_1 + z_2$

    (2) $z_1 - z_2$

    (3) $z_1 \cdot z_2$

    (4) $\dfrac{z_1}{z_2}$

    📖 答案：

    (1) $z_1 + z_2 = (3+1) + (4-2)i = \mathbf{4 + 2i}$

    (2) $z_1 - z_2 = (3-1) + (4+2)i = \mathbf{2 + 6i}$

    (3) $z_1 \cdot z_2 = (3+4i)(1-2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^2 = 3 - 2i + 8 = \mathbf{11 - 2i}$

    (4) $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{3+4i}{1-2i} \times \dfrac{1+2i}{1+2i} = \dfrac{3+6i+4i+8i^2}{1+4} = \dfrac{3+10i-8}{5} = \mathbf{\dfrac{-5+10i}{5} = -1 + 2i}$

    💡 复数除法需乘以分母的共轭进行有理化。

    第2题 进阶

    将复数 $z = -1 + i$ 化为三角形式和指数形式，并求 $z^3$。

    📖 答案：

    模：$r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

    辐角：$\arg z = \arctan\left(\frac{1}{-1}\right) = \frac{3\pi}{4}$（第二象限）

    三角形式：$z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$

    指数形式：$z = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$

    $z^3 = (\sqrt{2})^3 e^{i\frac{9\pi}{4}} = 2\sqrt{2}\, e^{i\frac{9\pi}{4}} = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{9\pi}{4} + i\sin\frac{9\pi}{4}\right)$

    $= 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \mathbf{2 + 2i}$

    💡 利用棣莫弗公式可快速计算复数幂。

    练习2 — 复数的运算

    第3题 基础

    利用棣莫弗公式计算 $\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{2024}$。

    📖 答案：

    先化为三角形式：$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$

    由棣莫弗公式：$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$

    $\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{2024} = \cos\left(2024 \times \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(2024 \times \frac{\pi}{3}\right)$

    $2024 \times \frac{\pi}{3} = 674\pi + \frac{2\pi}{3}$（因为 $2024 = 3 \times 674 + 2$）

    $= \cos\left(674\pi + \frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(674\pi + \frac{2\pi}{3}\right)$

    $= \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}$

    💡 先标准化为三角形式，利用周期性简化大指数。

    第4题 进阶

    解方程 $z^4 + 1 = 0$，即求 $1$ 的四次方根的相反数。

    📖 答案：

    $z^4 = -1$，即求 $(-1)^{1/4}$

    $-1 = e^{i(\pi + 2k\pi)}$，$k=0,1,2,3$

    由开方公式：$z_k = e^{i(\pi + 2k\pi)/4}$

    $z_0 = e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

    $z_1 = e^{i\frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

    $z_2 = e^{i\frac{5\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$

    $z_3 = e^{i\frac{7\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$

    💡 方程的 $n$ 个根均匀分布在半径为 $r^{1/n}$ 的圆周上。

    练习3 — 区域与曲线

    第5题 基础

    判断下列集合是否为区域：

    (1) $|z| < 1$

    (2) $|z| \le 1$

    (3) $\{z \mid 1 < |z| < 2, \text{且 } \Im(z) > 0\}$

    📖 答案：

    (1) $|z| < 1$：单位圆内部（不含边界）→ 开集且连通 → 是区域

    (2) $|z| \le 1$：包含边界 → 不是开集 → 不是区域（是闭区域）

    (3) $\{z \mid 1 < |z| < 2, \Im(z) > 0\}$：上半圆环 → 开集且连通 → 是区域

    💡 区域需要同时满足：开集 + 连通。多连通区域也是区域。

    第6题 进阶

    设 $D$ 是由 $|z| < 2$ 挖去 $|z-i| \le 1$ 得到的集合。问 $D$ 是单连通区域还是多连通区域？说明理由。

    📖 答案：

    $D = \{z \mid |z| < 2\} \setminus \{z \mid |z-i| \le 1\}$

    即半径为2的大圆盘内部，挖去以 $i$ 为圆心、半径为1的闭圆盘。

    大圆内部是开集，挖去的闭圆盘是闭集，差集仍是开集。

    但集合中存在"空洞"（被挖去的小圆盘），区域内存在一条环绕小圆的闭曲线无法连续收缩为一点。

    因此 $D$ 是多连通区域（二连通区域）。

    💡 多连通区域在应用柯西积分定理时需要采用复围线技巧。

    练习4 — 复变函数

    第7题 基础

    设 $f(z) = z^2 + 2z + 1$，求 $f(1+i)$ 的值。

    📖 答案：

    $f(1+i) = (1+i)^2 + 2(1+i) + 1$

    $(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

    $2(1+i) = 2 + 2i$

    $f(1+i) = 2i + 2 + 2i + 1 = \mathbf{3 + 4i}$

    💡 复变函数的多项式运算与实函数类似，只需注意 $i^2 = -1$。

    第8题 基础

    已知映射 $w = z^2$，求 $z$ 平面上的直线 $x = 1$ 在 $w$ 平面上的像。

    📖 答案：

    设 $z = 1 + iy$（$y \in \mathbb{R}$）

    $w = (1+iy)^2 = 1 + 2iy + (iy)^2 = 1 + 2iy - y^2 = (1 - y^2) + i(2y)$

    设 $w = u + iv$，则：$u = 1 - y^2$，$v = 2y$

    消去参数 $y$：$y = \frac{v}{2}$，代入得 $u = 1 - \left(\frac{v}{2}\right)^2 = 1 - \frac{v^2}{4}$

    即 $v^2 = -4(u-1)$，即 $v^2 = 4(1-u)$

    ∴ 像是一条开口向左的抛物线 $\mathbf{v^2 = 4(1-u)}$，顶点在 $(1,0)$。

    💡 映射 $w = z^2$ 将竖直线映射为抛物线。

    第2章 · 解析函数 练习题

    练习5 — 导数

    第1题 基础

    用导数的定义求 $f(z) = z^2$ 在 $z_0 = i$ 处的导数。

    📖 答案：

    $f'(i) = \lim_{z \to i} \frac{f(z) - f(i)}{z - i} = \lim_{z \to i} \frac{z^2 - i^2}{z - i}$

    $= \lim_{z \to i} \frac{(z-i)(z+i)}{z-i} = \lim_{z \to i} (z+i) = i + i = \mathbf{2i}$

    验证：由求导法则 $f'(z) = 2z$，得 $f'(i) = 2i$，与定义一致。

    💡 复变函数导数的定义形式和极限运算法则与实函数类似。

    第2题 进阶

    判断函数 $f(z) = \overline{z}$（共轭函数）在 $z=0$ 处是否可导。

    📖 答案：

    用定义判断：$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$，取 $z_0 = 0$

    $\lim_{\Delta z \to 0} \frac{\overline{\Delta z} - 0}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$

    设 $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$，则 $\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} = \frac{\Delta x - i\Delta y}{\Delta x + i\Delta y}$

    沿实轴方向（$\Delta y = 0$）：极限 $= \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$

    沿虚轴方向（$\Delta x = 0$）：极限 $= \frac{-i\Delta y}{i\Delta y} = -1$

    不同路径极限不同 → 极限不存在 → $f(z) = \overline{z}$ 在任意点均不可导。

    💡 复可导的要求比实可导严格得多，必须沿所有方向导数一致。

    练习6 — 解析函数

    第3题 基础

    判断 $f(z) = z^3 + 2z$ 的解析性，并求 $f'(1-i)$。

    📖 答案：

    多项式函数在整个复平面上处处可导 → 处处解析（整函数）

    $f'(z) = 3z^2 + 2$

    $f'(1-i) = 3(1-i)^2 + 2 = 3(1 - 2i + i^2) + 2 = 3(1 - 2i - 1) + 2 = 3(-2i) + 2 = \mathbf{2 - 6i}$

    💡 整函数（处处解析的函数）包括：多项式、指数函数、正弦余弦函数等。

    第4题 挑战

    设 $f(z) = \frac{1}{z^2+1}$，求 $f(z)$ 的所有奇点，并判断是否为孤立奇点。