上海沪教版（五四制）五年级上册 · 数学知识点全解
> 适用年级：五年级（上学期） | 教材版本：沪教版 2024新教材
> 学习建议：适合暑假预习，重点掌握小数乘除法与简易方程
目录结构
| 单元 | 名称 | 核心主题 | 建议课时 |
|---|---|---|---|
| 一 | 复习与提高 | 符号表示数、小数性质与加减 | 6课时 |
| 二 | 小数乘除法 | 小数乘除法的计算与应用 | 12课时 |
| 三 | 统计 | 平均数与应用 | 4课时 |
| 四 | 简易方程（一） | 字母表示数、方程与解方程 | 10课时 |
| 五 | 几何小实践 | 平行四边形、三角形、梯形面积 | 8课时 |
| 六 | 整理与提高 | 综合运用 | 6课时 |
第一单元 · 复习与提高
1.1 符号表示数
核心概念： 用□、△或字母代表未知的数。
知识点清单：
典型例题：
> 在□ + 36 = 100 中，□代表多少？
> 解：□ = 100 − 36 = 64
1.2 小数的性质
核心概念： 小数的末尾添上"0"或去掉"0"，小数的大小不变。
知识点清单：
易错提醒： ⚠️ 0.05 ≠ 0.5（中间的0不能去掉！只有末尾的0可以）
1.3 小数的加减法
核心规则： 小数点对齐（即相同数位对齐）
计算步骤：
典型例题：
3.45
+ 1.23
─────
4.68
易错提醒： ⚠️ 遇到整数加小数时，整数的小数点在个位后面：
5 + 2.36 = ?
5.00
+ 2.36
─────
7.36
第二单元 · 小数乘除法（重点单元 ⭐）
2.1 小数乘整数
规则： 先按整数乘法计算，再看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
示例：
> 3.25 × 4 = ?
> 325 × 4 = 1300 → 3.25有2位小数 → 13.00 → 13
2.2 小数乘小数
规则：
示例：
> 2.5 × 0.4 = ?
> 25 × 4 = 100 → 2.5有1位，0.4有1位，共2位 → 1.00 → 1
> 0.15 × 0.3 = ?
> 15 × 3 = 45 → 共3位小数 → 0.045（补0）
2.3 连乘、乘加、乘减
运算顺序： 与整数相同（先乘除，后加减，有括号先算括号）
2.4 整数乘法运算定律推广到小数
交换律： a × b = b × a
结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
分配律： (a + b) × c = a × c + b × c
巧算示例：
> 0.25 × 3.6 × 4 = (0.25 × 4) × 3.6 = 1 × 3.6 = 3.6
2.5 除数是整数的小数除法
规则：
示例：
> 9.6 ÷ 4 = 2.4
> 验算：2.4 × 4 = 9.6 ✓
2.6 除数是小数的除法
核心方法： 利用商不变性质，将除数转化为整数
步骤：
示例：
> 4.68 ÷ 1.2 = 46.8 ÷ 12 = 3.9
2.7 循环小数
定义： 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现。
表示方法：
2.8 用计算器计算
2.9 积、商的近似数
四舍五入法：
示例：
> 3.14159 保留两位小数 → 3.14
> 2.71828 保留三位小数 → 2.718
第三单元 · 统计
3.1 平均数
定义： 一组数据的平均值，反映数据的整体水平。
公式：
平均数 = 总数 ÷ 份数
总数 = 平均数 × 份数
3.2 平均数的计算
方法： 先求和再除以个数
示例：
> 小明期末成绩：语文85，数学92，英语90
> 平均分 = (85 + 92 + 90) ÷ 3 = 267 ÷ 3 = 89
3.3 平均数的应用
应用场景：
易错提醒： ⚠️ 平均数不能代表个体情况，只能反映整体趋势。
第四单元 · 简易方程（一）（重点单元 ⭐⭐）
4.1 用字母表示数
基本规则：
4.2 用字母表示运算定律及计算公式
运算定律：
面积公式：
4.3 用字母表示数量关系
常见关系：
4.4 化简与求值
合并同类项： 字母相同、相同字母的指数也相同的项可以合并
代入求值： 将字母的值代入算式计算
> a = 3时，2a + 5 = 2 × 3 + 5 = 6 + 5 = 11
4.5 等量关系与方程
方程的定义： 含有未知数的等式叫做方程。
两个条件必须同时满足：
等量关系的建立：
4.6 解方程（一）—— 利用等式的性质
等式性质1： 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
等式性质2： 等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
基本解法：
> x + 5 = 12
> x + 5 − 5 = 12 − 5
> x = 7
> 3x = 18
> 3x ÷ 3 = 18 ÷ 3
> x = 6
4.7 解方程（二）—— 两步方程
解法步骤：
示例：
> 2x + 3 = 15
> 2x = 15 − 3
> 2x = 12
> x = 6
4.8 解方程（三）—— 含括号的方程
解法： 先利用乘法分配律去括号，再按两步方程的方法解。
示例：
> 3(x + 2) = 18
> 3x + 6 = 18
> 3x = 12
> x = 4
4.9 列方程解决简单的问题
解题步骤：
示例：
> 学校买了5个篮球，每个x元，共花了300元，求每个篮球多少元？
> 5x = 300
> x = 60
> 答：每个篮球60元。
4.10 列方程解决稍复杂的问题
关键： 找到题目中的等量关系，特别是"比...多/少"、"是...的几倍"等关键语句。
示例：
> 小明今年x岁，爸爸比小明大30岁，爸爸今年36岁
> x + 30 = 36
> x = 6
第五单元 · 几何小实践（重点单元 ⭐⭐）
5.1 平行四边形
定义： 两组对边分别平行的四边形。
性质：
底和高：
5.2 平行四边形的面积
公式： S = a × h（底 × 高）
推导过程：
平行四边形 → 割补成长方形
示例：
> 底 = 8cm，高 = 5cm
> S = 8 × 5 = 40cm²
> ⚠️ 注意：不能用相邻两边相乘！
5.3 三角形的面积
公式： S = (a × h) ÷ 2（底 × 高 ÷ 2）
推导过程：
两个完全一样的三角形 → 拼成一个平行四边形
示例：
> 底 = 6cm，高 = 4cm
> S = 6 × 4 ÷ 2 = 12cm²
5.4 梯形
定义： 只有一组对边平行的四边形。
5.5 梯形的面积
公式： S = (a + b) × h ÷ 2（上底 + 下底）× 高 ÷ 2
推导过程：
两个完全一样的梯形 → 拼成一个平行四边形
示例：
> 上底 = 3cm，下底 = 7cm，高 = 4cm
> S = (3 + 7) × 4 ÷ 2 = 10 × 4 ÷ 2 = 20cm²
5.6 组合图形的面积
计算方法：
示例：
> 一个L形图形，可以分成一个长方形和一个正方形
> S总 = S长方形 + S正方形
第六单元 · 整理与提高
6.1 小数的四则混合运算
运算顺序：
6.2 小数应用——水、电、天然气的费用
实际应用： 利用小数四则运算解决生活中的费用计算问题。
典型题型： 分段计费（阶梯电价、水费）
6.3 列方程解决问题（二）
提高： 用方程解决更复杂的实际问题，如：
6.4 图形的面积
综合练习： 平行四边形、三角形、梯形面积的灵活运用。
6.5 数学广场——时间的计算
知识点：
6.6 数学广场——编码
知识点： 探索编码的规则，如邮政编码、身份证号码等。
📐 全册公式速查表
| 图形 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 平行四边形 | S = a × h | 底 × 高 |
| 三角形 | S = a × h ÷ 2 | 底 × 高 ÷ 2 |
| 梯形 | S = (a + b) × h ÷ 2 | (上底+下底) × 高 ÷ 2 |
| 平均数 | 平均数 = 总数 ÷ 份数 | — |
⚠️ 暑假预习建议（给闺女）
第一周： 复习第四年级下册的小数意义和性质（五年级上册的基础）
第二周： 攻克第二单元「小数乘除法」—— 这是五年级最核心的计算能力
第三周： 学习第四单元「简易方程」—— 从算术思维跨越到代数思维的关键
第四周： 学习第五单元「几何面积」—— 三个面积公式的理解和运用
第五周： 综合练习 + 查漏补缺
> 每天建议：30-45分钟，做3-5道例题即可，重在理解而非题海。
📝 配套练习题
第一单元 · 复习与提高 练习题
练习1 — 符号表示数
在□里填上合适的数：
(1) □ + 25 = 63
(2) □ − 18 = 42
(3) 7 × □ = 56
(4) □ ÷ 6 = 9
(1) □ = 63 − 25 = 38
(2) □ = 42 + 18 = 60
(3) □ = 56 ÷ 7 = 8
(4) □ = 9 × 6 = 54
提示：用逆运算求□代表的数。
用字母表示下列数量关系：
(1) 小明有a本书，小红比小明多5本，小红有_____本。
(2) 一支钢笔x元，买3支需要_____元。
(3) 一辆汽车每小时行v千米，t小时行_____千米。
(1) a + 5
(2) 3x
(3) vt
提示：注意"多5本"就是加5，"买3支"就是乘以3。
△ + ○ = 20，△ − ○ = 4，求△和○各代表多少？
△ = 12，○ = 8
两种方法：
方法一：△ = (20 + 4) ÷ 2 = 12，○ = 20 − 12 = 8
方法二：由△ − ○ = 4 得 △ = ○ + 4，代入 △ + ○ = 20
→ (○ + 4) + ○ = 20 → 2○ = 16 → ○ = 8，△ = 12
练习2 — 小数的性质
化简下面的小数（去掉末尾的0）：
(1) 3.50 = _____
(2) 0.800 = _____
(3) 12.000 = _____
(4) 5.060 = _____
(1) 3.5 (2) 0.8 (3) 12 (4) 5.06
⚠️ 注意：5.060的中间有0，但末尾的0才能去掉，所以变成5.06，不是5.6！
不改变大小，把下面的数改写成三位小数：
(1) 0.5 = _____
(2) 3.14 = _____
(3) 8 = _____
(1) 0.500 (2) 3.140 (3) 8.000
利用小数的性质：末尾添0大小不变。
判断对错，错的请改正：
(1) 0.30 = 0.3（ ）
(2) 0.05 = 0.5（ ）
(3) 4.08 = 4.8（ ）
(4) 7.00 = 7（ ）
(1) ✓ 正确（末尾的0可以去掉）
(2) ✗ 错误，0.05 ≠ 0.5（中间的0不能去掉）
(3) ✗ 错误，4.08 ≠ 4.8（中间的0不能去掉），4.08 = 4.08
(4) ✓ 正确（末尾的.00可以去掉）
⚠️ 记住：只有小数末尾的0才能去掉！
练习3 — 小数的加减法
列竖式计算：
(1) 3.45 + 2.37
(2) 8.6 − 3.25
(3) 5 + 2.63
(1) 3.45 + 2.37 = 5.82
(2) 8.60 − 3.25 = 5.35（被减数末尾补0）
(3) 5.00 + 2.63 = 7.63（整数补成小数）
关键：小数点对齐！
小明买文具用了12.5元，买书用了28.8元。他付了50元，应找回多少元？
总花费：12.5 + 28.8 = 41.3（元）
找回：50 − 41.3 = 8.7（元）
答：应找回8.7元。
一根绳子长2.5米，第一次用去0.8米，第二次用去1.2米。还剩多少米？
方法一（连减）：2.5 − 0.8 − 1.2 = 2.5 − 2.0 = 0.5（米）
方法二（先加后减）：2.5 − (0.8 + 1.2) = 2.5 − 2.0 = 0.5（米）
答：还剩0.5米。
在□里填上合适的数：
3.□6 + 2.4□ = 5.88
个位：3 + 2 = 5 ✓
百分位：6 + □ = 8 → □ = 2
十分位：□ + 4 = 8 → □ = 4
所以：3.46 + 2.42 = 5.88
第二单元 · 小数乘除法（重点）练习题
练习1 — 小数乘整数
计算：
(1) 2.5 × 3 =
(2) 0.36 × 4 =
(3) 1.25 × 8 =
(1) 2.5 × 3 = 7.5
(2) 0.36 × 4 = 1.44
(3) 1.25 × 8 = 10（125 × 8 = 1000，两位小数 → 10.00 = 10）
先当整数乘，再点小数点。
每千克苹果5.8元，买3千克需要多少元？
5.8 × 3 = 58 × 3 ÷ 10 = 174 ÷ 10 = 17.4（元）
答：需要17.4元。
练习2 — 小数乘小数
计算：
(1) 2.5 × 0.4 =
(2) 0.15 × 0.3 =
(3) 1.2 × 1.5 =
(1) 2.5 × 0.4 = 25 × 4 ÷ 100 = 100 ÷ 100 = 1
(2) 0.15 × 0.3 = 15 × 3 ÷ 1000 = 45 ÷ 1000 = 0.045
(3) 1.2 × 1.5 = 12 × 15 ÷ 100 = 180 ÷ 100 = 1.8
一块长方形菜地长6.5米，宽4.2米，面积是多少平方米？
6.5 × 4.2 = 65 × 42 ÷ 100 = 2730 ÷ 100 = 27.3（平方米）
答：面积是27.3平方米。
练习3 — 整数乘法运算定律推广到小数
用简便方法计算：
(1) 0.25 × 4.8 × 4
(2) 2.5 × 3.6 + 2.5 × 6.4
(3) 1.25 × 8.8
(1) 0.25 × 4.8 × 4 = (0.25 × 4) × 4.8 = 1 × 4.8 = 4.8
(2) 2.5 × 3.6 + 2.5 × 6.4 = 2.5 × (3.6 + 6.4) = 2.5 × 10 = 25
(3) 1.25 × 8.8 = 1.25 × (8 + 0.8) = 1.25 × 8 + 1.25 × 0.8 = 10 + 1 = 11
看到0.25想4，看到1.25想8，看到0.125想8——找凑整组合！
练习4 — 小数除法
计算：
(1) 9.6 ÷ 4 =
(2) 4.68 ÷ 1.2 =
(3) 0.84 ÷ 0.7 =
(1) 9.6 ÷ 4 = 2.4（验算：2.4 × 4 = 9.6 ✓）
(2) 4.68 ÷ 1.2 = 46.8 ÷ 12 = 3.9
(3) 0.84 ÷ 0.7 = 8.4 ÷ 7 = 1.2
除数有小数→先转化为整数（除数小数点右移几位，被除数也右移几位）。
3根跳绳共长7.5米，平均每根跳绳长多少米？
7.5 ÷ 3 = 2.5（米）
答：平均每根跳绳长2.5米。
两个因数的积是25.6，其中一个因数是0.8，另一个因数是多少？
因数 = 积 ÷ 另一个因数
25.6 ÷ 0.8 = 256 ÷ 8 = 32
验算：32 × 0.8 = 25.6 ✓
练习5 — 循环小数与近似数
将下面的分数化成小数，判断是有限小数还是循环小数：
(1) 1 ÷ 2 =
(2) 1 ÷ 3 =
(3) 1 ÷ 4 =
(4) 1 ÷ 6 =
(1) 0.5 → 有限小数
(2) 0.333... → 循环小数（循环节：3）
(3) 0.25 → 有限小数
(4) 0.1666... → 循环小数（循环节：6）
分母只含质因数2和5的分数→有限小数；否则→循环小数。
用四舍五入法求近似数：
(1) 3.14159 保留两位小数 ≈
(2) 2.71828 保留三位小数 ≈
(3) 0.6666 保留一位小数 ≈
(4) 9.9999 保留两位小数 ≈
(1) 3.14（看第三位1<5，舍去）
(2) 2.718（看第四位2<5，舍去）
(3) 0.7（看第二位6≥5，进一）
(4) 10.00（看第三位9≥5，进一→10.00）
⚠️ 注意9.9999保留两位小数要进位，变成10.00！
第三单元 · 统计 练习题
练习1 — 平均数
小明期末考试成绩：语文88分，数学95分，英语87分。他的平均分是多少？
(88 + 95 + 87) ÷ 3 = 270 ÷ 3 = 90（分）
答：平均分是90分。
5个数的平均数是12，前4个数的平均数是10，第5个数是多少？
5个数总和：12 × 5 = 60
前4个数总和：10 × 4 = 40
第5个数：60 − 40 = 20
总数 = 平均数 × 个数，利用这个关系反推。
一辆汽车前2小时行驶了120千米，后3小时行驶了180千米。这辆汽车全程的平均速度是多少？
总路程：120 + 180 = 300（千米）
总时间：2 + 3 = 5（小时）
平均速度：300 ÷ 5 = 60（千米/小时）
⚠️ 注意：不能用 (120÷2 + 180÷3) ÷ 2 的方法算平均速度！
平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，不是速度的平均值！
第四单元 · 简易方程（重点）练习题
练习1 — 用字母表示数
省略乘号，写出下列各式：
(1) a × 5 =
(2) x × y =
(3) 1 × b =
(4) a × a =
(5) (a + b) × 2 =
(1) 5a（数字写在字母前面）
(2) xy（字母间乘号省略）
(3) b（1×任何数=本身）
(4) a²（相同字母相乘写幂）
(5) 2(a + b)
当 a = 4 时，求下列各式的值：
(1) 3a + 5 =
(2) 2a² =
(3) (a + 6) ÷ 2 =
(1) 3 × 4 + 5 = 12 + 5 = 17
(2) 2 × 4² = 2 × 16 = 32（先算a²=16，再乘以2）
(3) (4 + 6) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5
练习2 — 解方程
解方程：
(1) x + 8 = 15
(2) x − 12 = 25
(3) 4x = 36
(4) x ÷ 7 = 9
(1) x = 15 − 8 = 7
(2) x = 25 + 12 = 37
(3) x = 36 ÷ 4 = 9
(4) x = 9 × 7 = 63
解方程就是利用逆运算求x的值。
解方程（两步方程）：
(1) 2x + 5 = 17
(2) 3x − 8 = 13
(3) 4(x + 2) = 24
(1) 2x + 5 = 17 → 2x = 12 → x = 6
(2) 3x − 8 = 13 → 3x = 21 → x = 7
(3) 4(x + 2) = 24 → x + 2 = 6 → x = 4（先两边同÷4）
两步方程口诀："先加减，后乘除"
学校买了5个篮球，每个x元，共花了300元。列方程并求解。
方程：5x = 300
解：x = 300 ÷ 5 = 60
答：每个篮球60元。
验算：5 × 60 = 300 ✓
小明今年x岁，爸爸比小明大30岁，爸爸今年36岁。列方程并求解。
等量关系：小明年龄 + 30 = 爸爸年龄
方程：x + 30 = 36
解：x = 36 − 30 = 6
答：小明今年6岁。
学校买了5个篮球和3个足球共花了540元，每个足球80元。每个篮球多少元？
设每个篮球x元
方程：5x + 3 × 80 = 540
5x + 240 = 540
5x = 300
x = 60
答：每个篮球60元。
第五单元 · 几何小实践（重点）练习题
练习1 — 平行四边形面积
一个平行四边形的底是8cm，高是5cm，面积是多少？
S = a × h = 8 × 5 = 40（cm²）
一个平行四边形的面积是48cm²，底是12cm，高是多少？
由 S = a × h 得 h = S ÷ a
h = 48 ÷ 12 = 4（cm）
一个平行四边形的底是6cm，高是4cm。如果底和高都扩大到原来的2倍，新平行四边形的面积是原来的几倍？
原面积：6 × 4 = 24（cm²）
新底：6 × 2 = 12cm，新高：4 × 2 = 8cm
新面积：12 × 8 = 96（cm²）
倍数：96 ÷ 24 = 4倍
底和高都扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍（2 × 2 = 4）。
练习2 — 三角形面积
一个三角形的底是6cm，高是4cm，面积是多少？
S = a × h ÷ 2 = 6 × 4 ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12（cm²）
别忘了除以2！三角形面积是等底等高平行四边形的一半。
一个三角形的面积是30cm²，底是10cm，高是多少？
由 S = a × h ÷ 2 得：a × h = 2S
h = 2S ÷ a = 2 × 30 ÷ 10 = 60 ÷ 10 = 6（cm）
一个等腰直角三角形的直角边长为5cm，它的面积是多少？
等腰直角三角形的两条直角边互为底和高
S = 5 × 5 ÷ 2 = 25 ÷ 2 = 12.5（cm²）
等腰直角三角形中，两条直角边相等，可以互为底和高。
练习3 — 梯形面积
一个梯形的上底是3cm，下底是7cm，高是4cm，面积是多少？
S = (a + b) × h ÷ 2 = (3 + 7) × 4 ÷ 2 = 10 × 4 ÷ 2 = 20（cm²）
一个梯形的面积是42cm²，上底是4cm，下底是10cm，高是多少？
由 S = (a + b) × h ÷ 2 得：(a + b) × h = 2S
h = 2S ÷ (a + b) = 2 × 42 ÷ (4 + 10) = 84 ÷ 14 = 6（cm）
练习4 — 组合图形面积
一个L形图形，左边是一个长8cm、宽4cm的长方形，右边是一个边长为4cm的正方形。求总面积。
S长方形 = 8 × 4 = 32（cm²）
S正方形 = 4 × 4 = 16（cm²）
S总 = 32 + 16 = 48（cm²）
分割法：将组合图形分成几个基本图形分别计算再相加。
一个底为10cm、高为6cm的平行四边形中画了一个最大的三角形，三角形面积是多少？
平行四边形中最大的三角形 = 与平行四边形等底等高的三角形
S三角形 = 10 × 6 ÷ 2 = 30（cm²）
平行四边形中能画的最大三角形面积是平行四边形面积的一半。
第六单元 · 整理与提高 练习题
综合练习
计算：3.6 × 2.5 + 3.6 × 7.5（用简便方法）
3.6 × 2.5 + 3.6 × 7.5 = 3.6 × (2.5 + 7.5) = 3.6 × 10 = 36
乘法分配律的逆用：a × c + b × c = (a + b) × c
鸡兔同笼，共有12个头，32条腿。鸡和兔各有多少只？（列方程解答）
设鸡有x只，则兔有(12 − x)只
鸡2条腿，兔4条腿
方程：2x + 4(12 − x) = 32
2x + 48 − 4x = 32
48 − 2x = 32
2x = 16
x = 8
鸡：8只，兔：12 − 8 = 4只
验算：8 × 2 + 4 × 4 = 16 + 16 = 32 ✓
甲、乙两车从相距300千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45千米，几小时后两车相遇？（列方程解答）
设x小时后相遇
等量关系：甲车路程 + 乙车路程 = 总距离
方程：55x + 45x = 300
100x = 300
x = 3
答：3小时后两车相遇。
相遇问题公式：速度和 × 相遇时间 = 总距离
小明从家到学校要走0.8千米，他每天往返2次。他一周（5天）一共要走多少千米？
每天往返2次 = 每天走 0.8 × 4 = 3.2（千米）
一周：3.2 × 5 = 16（千米）
"往返2次"=去→回→去→回，共4趟。
48分钟 = _____ 小时 (填小数)
48 ÷ 60 = 0.8（小时）
分钟 ÷ 60 = 小时