(1) $f'(x) = 5x^4$（幂函数求导：$(x^n)' = nx^{n-1}$）

(2) $f'(x) = \cos x$（正弦函数求导：$(\sin x)' = \cos x$）

(3) $f'(x) = e^x$（指数函数求导：$(e^x)' = e^x$）

(4) $f'(x) = \dfrac{1}{x}$（对数函数求导：$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$）

💡 熟记基本导数公式是求导的基础。

(1) 利用乘法法则 $(uv)' = u'v + uv'$：

 $f'(x) = (x^3)'\ln x + x^3(\ln x)' = 3x^2\ln x + x^3 \cdot \dfrac{1}{x} = 3x^2\ln x + x^2 = x^2(3\ln x + 1)$

(2) 利用除法法则 $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$：

 $f'(x) = \dfrac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{e^x(x - 1)}{x^2}$

(3) $f'(x) = 6x + 2\cos x + \sin x$

💡 四则运算法则要与基本求导公式配合使用。

$f'(3) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{(3+\Delta x)^2 - 3^2}{\Delta x}$

$= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{9 + 6\Delta x + (\Delta x)^2 - 9}{\Delta x}$

$= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{6\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$

$= \lim\limits_{\Delta x \to 0} (6 + \Delta x) = 6$

💡 由幂函数求导公式可得 $f'(x) = 2x$，代入 $x = 3$ 也得到 $6$，与定义计算结果一致。

$f'(x) = 2x$，所以在 $x = 2$ 处的切线斜率 $k = f'(2) = 2 \times 2 = 4$

切线方程：$y - 4 = 4(x - 2)$

整理得：$y = 4x - 4$

💡 切线方程公式：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

$f'(x) = 3x^2 - 1$，$f'(1) = 3 \times 1^2 - 1 = 2$

切线斜率为 $2$，法线与切线垂直，法线斜率为 $-\dfrac{1}{2}$

法线方程：$y - 0 = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$

整理得：$y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$

💡 法线与切线垂直，斜率乘积为 $-1$。

设切点为 $(x_0, x_0^3)$，切线斜率为 $f'(x_0) = 3x_0^2$

由题意 $3x_0^2 = 3$，解得 $x_0 = 1$ 或 $x_0 = -1$

情况1：$x_0 = 1$，切点 $(1, 1)$，切线方程 $y - 1 = 3(x - 1)$，即 $y = 3x - 2$，$b = -2$

情况2：$x_0 = -1$，切点 $(-1, -1)$，切线方程 $y + 1 = 3(x + 1)$，即 $y = 3x + 2$，$b = 2$

答：切点为 $(1, 1)$ 时 $b = -2$；切点为 $(-1, -1)$ 时 $b = 2$。

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x + 1)(x - 1)$

令 $f'(x) = 0$，得 $x = -1$ 或 $x = 1$

💡 $f'(x) > 0$ 时函数递增，$f'(x) < 0$ 时函数递减。

$f'(x) = x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$

令 $f'(x) = 0$，得 $x = -1$ 或 $x = 3$

$x = 3$ 处左负右正，为极小值点：$f(3) = 9 - 9 - 9 + 2 = -7$

答：极大值为 $\dfrac{11}{3}$，极小值为 $-7$。

(1) $f'(x) = 3x^2 - 3a$，由题意 $f'(1) = 0$

 $3 \times 1^2 - 3a = 0$，解得 $a = 1$

(2) 当 $a = 1$ 时，$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)$

 在 $x = 1$ 左侧（如 $x = 0.9$），$f'(x) < 0$；右侧（如 $x = 1.1$），$f'(x) > 0$

 左负右正，所以 $x = 1$ 处取得极小值

(3) $f'(x) = 0$ 的根为 $x = -1$（不在 $[0, 2]$ 内）和 $x = 1$

 比较端点与极值点：

 $f(0) = 1$，$f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$，$f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$

 答：最小值为 $f(1) = -1$，最大值为 $f(2) = 3$。

💡 闭区间上求最值，需比较所有极值点和端点的函数值。

设剪去的小正方形边长为 $x$（$0 < x < 6$）

盒子底面边长：$12 - 2x$，高：$x$

容积：$V(x) = x(12 - 2x)^2 = 4x(6 - x)^2 = 4x(36 - 12x + x^2) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$

$V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6)$

令 $V'(x) = 0$，得 $x = 2$ 或 $x = 6$（舍去）

当 $0 < x < 2$ 时 $V'(x) > 0$，当 $2 < x < 6$ 时 $V'(x) < 0$

$x = 2$ 时容积最大，$V(2) = 2 \times (12 - 4)^2 = 2 \times 64 = 128$

答：剪去边长为 $2$ 的小正方形时容积最大，最大容积为 $128$。

💡 建立函数后用导数求最值是解决最优化问题的标准方法。

(1) 速度 $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$

 $v(2) = 3 \times 4 - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$（米/秒）

 加速度 $a(t) = v'(t) = 6t - 12$

 $a(2) = 12 - 12 = 0$（米/秒²）

(2) 令 $v(t) = 0$：$3t^2 - 12t + 9 = 0$

 $t^2 - 4t + 3 = 0$，$(t - 1)(t - 3) = 0$

 $t = 1$ 秒或 $t = 3$ 秒

答：(1) $t = 2$ 秒时速度为 $-3$ 米/秒，加速度为 $0$ 米/秒²；(2) 速度为零的时刻为 $t = 1$ 秒和 $t = 3$ 秒。

💡 位移的一阶导数是速度，二阶导数是加速度。

选主食、菜品、饮品是"且"的关系，使用分步乘法原理：

$3 \times 5 \times 4 = 60$（种）

答：共有 $60$ 种不同的搭配方式。

💡 分步用乘法：完成一件事需要多步，每步有 $n_i$ 种方法，总数为各步方法数之积。

公路、铁路、航线是"或"的关系（任选一类即可），使用分类加法原理：

$3 + 2 + 1 = 6$（种）

答：共有 $6$ 种不同的交通方式。

💡 分类用加法：完成一件事有 $k$ 类方案，每类有 $n_i$ 种方法，总数为各类方法数之和。

(1) 三位数：百位不能为 $0$

 百位有 $4$ 种选择（$1, 2, 3, 4$）

 十位有 $4$ 种（剩下的 $4$ 个数字）

 个位有 $3$ 种（剩下的 $3$ 个数字）

 总数：$4 \times 4 \times 3 = 48$ 个

(2) 三位偶数：个位为 $0, 2, 4$

 分类讨论：

 情况1：个位为 $0$ → 百位 $4$ 种，十位 $3$ 种，共 $4 \times 3 = 12$ 个

 情况2：个位为 $2$ 或 $4$ → 个位 $2$ 种，百位 $3$ 种（除去 $0$ 和已选个位），十位 $3$ 种，共 $2 \times 3 \times 3 = 18$ 个

 总数：$12 + 18 = 30$ 个

答：(1) 可组成 $48$ 个三位数；(2) 可组成 $30$ 个三位偶数。

💡 数字排列问题注意"首位不能为 $0$"的限制，往往需要分类讨论。

(1) $A(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$

(2) $C(8, 3) = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{336}{6} = 56$

(3) 利用性质 $C(10, 7) = C(10, 3) = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{720}{6} = 120$

💡 排列与顺序有关，组合与顺序无关；$C(n, m) = C(n, n - m)$ 可以简化计算。

(1) 只选人不排序，是组合问题：$C(6, 4) = C(6, 2) = \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 种

(2) 先选人再排序：$C(6, 4) \times A(4, 4) = 15 \times 24 = 360$ 种

或者直接用排列定义：$A(6, 4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 种

答：(1) 有 $15$ 种选法；(2) 有 $360$ 种排法。

💡 "先选后排"是解决排列组合问题的核心思路。选人不排序用组合，选好后再排序用排列。

(1) 总共有 $4 + 3 = 7$ 本书，任取 $2$ 本：$C(7, 2) = \dfrac{7 \times 6}{2} = 21$ 种

(2) 方法一（直接法）：$1$ 本数学 $+$ $1$ 本物理：$C(4, 1) \times C(3, 1) = 4 \times 3 = 12$ 种

 方法二（间接法）：总取法减去两本都是数学或两本都是物理：

 $C(7, 2) - C(4, 2) - C(3, 2) = 21 - 6 - 3 = 12$ 种

答：(1) $21$ 种；(2) $12$ 种。

💡 直接法分类计数，间接法用总数减去不合要求的，两种思路都要掌握。

方法一（分类讨论）：

情况1：乙在排头（则甲不能在排头自动满足）

 排头固定为乙，剩下 $4$ 人任意排：$A(4, 4) = 24$ 种

情况2：乙不在排头且甲不在排头

 排头不能是甲也不能是乙，有 $3$ 种选择

 排尾不能是乙，从剩下的 $4$ 人中选（排除已选排头的）：注意如果排尾选了甲也可以

 换个思路：排头有 $3$ 种（除甲、乙外），排尾不能是乙，从剩下 $4$ 人中选（可能包含甲）：$4$ 种

 中间 $3$ 人任意排：$A(3, 3) = 6$ 种

 共 $3 \times 4 \times 6 = 72$ 种

 总数：$24 + 72 = 96$ 种

方法二（间接法）：所有排列 $A(5, 5) = 120$，减去甲在排头或乙在排尾的情况

甲在排头：$A(4, 4) = 24$；乙在排尾：$A(4, 4) = 24$

甲在排头且乙在排尾：$A(3, 3) = 6$（重复计算需加回）

$120 - 24 - 24 + 6 = 78$ 种

检验：两种方法结果不同，方法一有误，应修正：

 情况1：乙在排头（甲不在排头自动满足），排尾无限制，剩余 $3$ 人任意排：$A(3, 3) = 6$ 种...

⚠️ 正确解法：

无限制排列：$A(5, 5) = 120$

甲在排头：$A(4, 4) = 24$（甲固定排头，其余任意）

乙在排尾：$A(4, 4) = 24$（乙固定排尾，其余任意）

甲在排头且乙在排尾：$A(3, 3) = 6$（甲乙都固定，其余任意）

$120 - 24 - 24 + 6 = 78$ 种

答：共有 $78$ 种不同的站法。

💡 有位置限制的排列问题，常用间接法（总数 - 不满足条件的情况），注意减去重复的部分要加回（容斥原理）。

通项公式：$T_{k+1} = C(5, k) x^{5-k} \cdot 2^k$

令 $5 - k = 3$，得 $k = 2$

系数为 $C(5, 2) \times 2^2 = 10 \times 4 = 40$

答：$x^3$ 项的系数为 $40$。

💡 二项式系数为 $C(n, k)$，项的系数还要乘上 $a$ 和 $b$ 中的系数。

(1) $n = 6$ 为偶数，中间项为第 $\dfrac{6}{2} + 1 = 4$ 项（$k = 3$）

 二项式系数为 $C(6, 3) = 20$

(2) 通项公式：$T_{k+1} = C(6, k) \cdot 1^{6-k} \cdot (-2x)^k = C(6, k) \cdot (-2)^k \cdot x^k$

 令 $k = 2$，系数为 $C(6, 2) \times (-2)^2 = 15 \times 4 = 60$

答：(1) 最大二项式系数为 $C(6, 3) = 20$；(2) $x^2$ 项的系数为 $60$。

💡 注意区分"二项式系数"（$C(n, k)$）和"系数"（包括 $a, b$ 中系数的幂次）。

(1) 令 $x = 1$，各项系数之和为 $(1 + 2)^n = 3^n = 243$

 $3^5 = 243$，所以 $n = 5$

(2) 通项公式：$T_{k+1} = C(5, k) x^{5-k} \cdot 2^k$

 令 $5 - k = 3$，得 $k = 2$

 系数为 $C(5, 2) \times 2^2 = 10 \times 4 = 40$

答：(1) $n = 5$；(2) $x^3$ 项的系数为 $40$。

💡 求二项展开式系数之和，只需令 $x = 1$ 代入即可。

(1) 总共 $5$ 个球，红球 $3$ 个：$P(\text{第一次红}) = \dfrac{3}{5}$

(2) 第一次已取红球后，剩下 $4$ 个球（$2$ 红 $2$ 白）

 $P(\text{第二次白} \mid \text{第一次红}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

答：(1) $\dfrac{3}{5}$；(2) $\dfrac{1}{2}$。

💡 条件概率 $P(B|A)$ 表示在事件 $A$ 已发生的条件下事件 $B$ 发生的概率。

设事件 $A_1$：产品来自甲线，$A_2$：产品来自乙线，$B$：产品是次品

已知：$P(A_1) = 0.6$，$P(A_2) = 0.4$，$P(B|A_1) = 0.02$，$P(B|A_2) = 0.05$

(1) 全概率公式：$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2)$

 $= 0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.05 = 0.012 + 0.02 = 0.032 = 3.2\%$

(2) 贝叶斯公式：$P(A_1|B) = \dfrac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \dfrac{0.012}{0.032} = 0.375 = 37.5\%$

答：(1) 任取一件是次品的概率为 $3.2\%$；(2) 若取出的是次品，来自甲线的概率为 $37.5\%$。

💡 全概率公式"由因推果"，贝叶斯公式"由果溯因"。

(1) 第一次的结果不影响第二次，是相互独立的。

 $P(\text{第一次正} \cap \text{第二次正}) = \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = P(\text{第一次正})P(\text{第二次正})$ ✓

(2) 不放回抽取时，第一次的结果会影响第二次的概率，不独立。

 验算：$P(\text{第一次红}) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}$

 $P(\text{第二次红} \mid \text{第一次红}) = \dfrac{12}{51} \neq \dfrac{1}{4}$

答：(1) 相互独立；(2) 不相互独立。

💡 事件的独立性与抽样方式密切相关：放回抽样独立，不放回抽样不独立（但当总体很大时可近似为独立）。

设事件 $D$：患病，事件 $T$：检测阳性

已知：$P(D) = 0.001$，$P(\overline{D}) = 0.999$

$P(T|D) = 0.99$（灵敏度），$P(\overline{T}|\overline{D}) = 0.98$（特异度）

所以 $P(T|\overline{D}) = 1 - 0.98 = 0.02$（误报率）

由全概率公式：$P(T) = P(D)P(T|D) + P(\overline{D})P(T|\overline{D})$

$= 0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.02 = 0.00099 + 0.01998 = 0.02097$

由贝叶斯公式：$P(D|T) = \dfrac{P(D)P(T|D)}{P(T)} = \dfrac{0.00099}{0.02097} \approx 0.0472 = 4.72\%$

答：即使检测结果为阳性，真正患病的概率也只有约 $4.72\%$。

💡 这就是"罕见病筛查悖论"——发病率很低时，即使检测准确率很高，阳性结果的实际意义也有限。贝叶斯公式能帮我们理性解读检测结果。

(1) $E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$

(2) 方法一：$D(X) = \Sigma (x_i - E(X))^2 p_i$

 $= (1 - 2.1)^2 \times 0.2 + (2 - 2.1)^2 \times 0.5 + (3 - 2.1)^2 \times 0.3$

 $= 1.21 \times 0.2 + 0.01 \times 0.5 + 0.81 \times 0.3$

 $= 0.242 + 0.005 + 0.243 = 0.49$

 方法二：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

 $E(X^2) = 1^2 \times 0.2 + 2^2 \times 0.5 + 3^2 \times 0.3 = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$

 $D(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$

答：$E(X) = 2.1$，$D(X) = 0.49$。

💡 方差公式 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ 计算更简洁。

(1) 验证概率之和：$\dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10} = \dfrac{10}{10} = 1$ ✓

(2) $E(X) = 1 \times \dfrac{1}{10} + 2 \times \dfrac{2}{10} + 3 \times \dfrac{3}{10} + 4 \times \dfrac{4}{10}$

 $= \dfrac{1 + 4 + 9 + 16}{10} = \dfrac{30}{10} = 3$

 $E(X^2) = 1^2 \times \dfrac{1}{10} + 2^2 \times \dfrac{2}{10} + 3^2 \times \dfrac{3}{10} + 4^2 \times \dfrac{4}{10}$

 $= \dfrac{1 + 8 + 27 + 64}{10} = \dfrac{100}{10} = 10$

 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 10 - 9 = 1$

答：$E(X) = 3$，$D(X) = 1$。

$E(2X + 1) = 2E(X) + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7$

$D(2X + 1) = 2^2 D(X) = 4 \times 2 = 8$

💡 期望具有线性性质：$E(aX + b) = aE(X) + b$

💡 方差性质：$D(aX + b) = a^2D(X)$（常数项对方差无贡献）

(1) $X \sim B(5, 0.5)$，二项分布，$n = 5$，$p = 0.5$

(2) $P(X = 3) = C(5, 3) \times 0.5^3 \times 0.5^2 = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125$

(3) $E(X) = np = 5 \times 0.5 = 2.5$

 $D(X) = np(1-p) = 5 \times 0.5 \times 0.5 = 1.25$

答：(1) $B(5, 0.5)$；(2) $0.3125$；(3) $E(X) = 2.5$，$D(X) = 1.25$。

💡 二项分布 $B(n, p)$ 的期望为 $np$，方差为 $np(1-p)$。

设命中次数 $X \sim B(10, 0.8)$

(1) $P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)$

 $P(X = 8) = C(10, 8) \times 0.8^8 \times 0.2^2 = 45 \times 0.1678 \times 0.04 \approx 0.3020$

 $P(X = 9) = C(10, 9) \times 0.8^9 \times 0.2^1 = 10 \times 0.1342 \times 0.2 \approx 0.2684$

 $P(X = 10) = C(10, 10) \times 0.8^{10} \times 0.2^0 = 1 \times 0.1074 \times 1 \approx 0.1074$

 $P(X \geq 8) \approx 0.3020 + 0.2684 + 0.1074 = 0.6778$

(2) $E(X) = np = 10 \times 0.8 = 8$（次）

答：(1) 至少命中 $8$ 次的概率约为 $0.6778$；(2) 期望命中 $8$ 次。

$\mu = 75$，$\sigma = 10$

(1) $65 = \mu - \sigma$，$85 = \mu + \sigma$

 根据 $3\sigma$ 原则：$P(65 \leq X \leq 85) = P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68.3\%$

(2) $95 = \mu + 2\sigma$，$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95.4\%$

 $P(X > 95) = \dfrac{1 - 95.4\%}{2} = \dfrac{4.6\%}{2} = 2.3\%$

答：(1) 约 $68.3\%$ 的考生成绩在 $65$ 到 $85$ 之间；(2) 约 $2.3\%$ 的考生成绩高于 $95$ 分。

💡 正态分布关于均值对称，利用 $3\sigma$ 原则的对称性可以快速估算概率。