上海沪教版（五四制）四年级上册 · 数学知识点全解
> 适用年级：四年级（上学期） | 教材版本：沪教版 2024新教材
第一单元 · 复习与提高
第二单元 · 数与量
第三单元 · 分数的初步认识（二）
第四单元 · 整数的四则运算
第五单元 · 几何小实践
第六单元 · 整理与提高
上海沪教版（五四制）四年级下册 · 数学知识点全解
> 适用年级：四年级（下学期） | 教材版本：沪教版 2024新教材
第一单元 · 复习与提高
第二单元 · 小数的认识与加减法（重点单元 ⭐）
第三单元 · 统计
第四单元 · 几何小实践
第五单元 · 整理与提高
⚠️ 给闺女的暑假复习建议
四年级的知识点是五年级的直接基础，特别是：
建议用一周时间快速过一遍四年级下册的「小数的意义和性质」，确保过关再学五年级内容。
📝 配套练习题
第一单元 · 复习与提高 练习题（上册）
练习1 — 加法与减法的关系
根据加法与减法的关系，在□里填上合适的数：
(1) 437 + □ = 800
(2) □ − 256 = 344
(3) 1000 − □ = 587
(4) □ + 189 = 500
(1) □ = 800 − 437 = 363
(2) □ = 344 + 256 = 600
(3) □ = 1000 − 587 = 413
(4) □ = 500 − 189 = 311
加数 = 和 − 另一个加数；被减数 = 差 + 减数；减数 = 被减数 − 差。
一本故事书共350页，小明第一天看了86页，第二天看了97页，还剩下多少页没看？
方法一（逐步减）：350 − 86 − 97 = 264 − 97 = 167（页）
方法二（先加后减）：350 − (86 + 97) = 350 − 183 = 167（页）
答：还剩下167页没看。
练习2 — 乘法与除法的关系
根据乘法与除法的关系，在□里填上合适的数：
(1) 25 × □ = 600
(2) □ ÷ 18 = 25
(3) 420 ÷ □ = 14
(4) □ × 16 = 400
(1) □ = 600 ÷ 25 = 24
(2) □ = 25 × 18 = 450
(3) □ = 420 ÷ 14 = 30
(4) □ = 400 ÷ 16 = 25
因数 = 积 ÷ 另一个因数；被除数 = 商 × 除数；除数 = 被除数 ÷ 商。
学校有480本练习本，平均分给12个班级，每个班分到多少本？如果每个班分到40本，可以分给几个班？
(1) 480 ÷ 12 = 40（本） → 每个班分到40本
(2) 480 ÷ 40 = 12（个） → 可以分给12个班
答：每个班分到40本；可以分给12个班。
练习3 — 复习用两位数乘、除
用竖式计算：
(1) 36 × 24 =
(2) 208 × 35 =
(3) 525 ÷ 25 =
(4) 792 ÷ 36 =
(1) 36 × 24 = 864
(2) 208 × 35 = 7280
(3) 525 ÷ 25 = 21
(4) 792 ÷ 36 = 22
两位数乘两位数，先用第二个因数的个位去乘，再用十位去乘。
每箱矿泉水有24瓶，学校买了15箱，一共有多少瓶？如果每瓶售价2元，一共需要多少元？
总瓶数：24 × 15 = 360（瓶）
总价钱：360 × 2 = 720（元）
答：一共有360瓶，一共需要720元。
练习4 — 分数初步复习
用分数表示下面各图中的涂色部分：
(1) 把一个圆平均分成8份，涂了3份 → ______
(2) 把一个正方形平均分成4份，涂了1份 → ______
(3) 把一条线段平均分成10段，取了7段 → ______
(1) $\frac{3}{8}$ (2) $\frac{1}{4}$ (3) $\frac{7}{10}$
分数 = 涂色份数 ÷ 总份数，分母表示平均分了几份，分子表示取了几份。
一盒巧克力有12块，小明吃了$\frac{1}{3}$，小红吃了$\frac{1}{4}$。他们各吃了多少块？谁吃得多？
小明：12 × $\frac{1}{3}$ = 12 ÷ 3 = 4（块）
小红：12 × $\frac{1}{4}$ = 12 ÷ 4 = 3（块）
比较：4 > 3，所以小明吃得多。
答：小明吃了4块，小红吃了3块，小明吃得多。
第二单元 · 数与量 练习题（上册）
练习1 — 大数的认识（亿以内）
读出或写出下面各数：
(1) 2048000 读作：________________
(2) 五千零六十万 写作：________________
(3) 30050000 读作：________________
(4) 一亿二千零三万 写作：________________
(1) 二百零四万八千
(2) 50600000
(3) 三千零五万
(4) 120300000
读数时从高位读起，亿级读法同个级，加"亿"字；万级读法加"万"字。
把下面的数按从小到大的顺序排列：
506000、560000、605000、600500、500600
比较位数相同（都是6位数），从高位开始比：
500600 < 506000 < 560000 < 600500 < 605000
大数比较：先看位数，位数多的数大；位数相同，从高位往低位逐位比较。
用"万"或"亿"作单位写出下列各数的近似数（先分级，再改写）：
(1) 750000 = ______ 万
(2) 20400000 = ______ 万
(3) 1300000000 = ______ 亿
(4) 50080000 = ______ 万
(1) 750000 = 75万
(2) 20400000 = 2040万
(3) 1300000000 = 13亿
(4) 50080000 = 5008万
改写成"万"作单位，去掉末尾4个0，加"万"字；改写成"亿"作单位，去掉末尾8个0，加"亿"字。
练习2 — 四舍五入法（求近似数）
用四舍五入法求近似数（省略万位后面的尾数）：
(1) 826500 ≈ ______ 万
(2) 345000 ≈ ______ 万
(3) 798200 ≈ ______ 万
(4) 650400 ≈ ______ 万
(1) 83万（千位6≥5，进一）
(2) 35万（千位5≥5，进一）
(3) 80万（千位8≥5，进一）
(4) 65万（千位0<5，舍去）
四舍五入法：看要保留的下一位，≥5进一，<5舍去。
一个五位数，用四舍五入法省略万位后面的尾数后约是6万，这个数最大是多少？最小是多少？
约等于6万，说明原数在5.5万到6.4万之间：
最大：64999（千位4<5，舍去，得6万）
最小：55000（千位5≥5，进一，得6万）
最大要考虑"舍"，最小要考虑"入"。
□里可以填哪些数字？
(1) 38□400 ≈ 38万 → □可以填：______
(2) 6□8300 ≈ 70万 → □可以填：______
(3) 9□32000000 ≈ 93亿 → □可以填：______
(1) 38□400 ≈ 38万 → 千位□<5 → □可以填：0、1、2、3、4
(2) 6□8300 ≈ 70万 → 千位8≥5进一，6□+1=70 → □=9 → □可以填：9
(3) 9□32000000 ≈ 93亿 → 千万位3<5舍去，9□=93 → □=3 → □可以填：3
⚠️ 这类题目要同时考虑舍入的方向和位数！
练习3 — 平方千米（km²）的认识
填空：
(1) 1平方千米 = ______ 公顷 = ______ 平方米
(2) 5平方千米 = ______ 公顷
(3) 300公顷 = ______ 平方千米
(4) 2000000平方米 = ______ 平方千米
(1) 1平方千米 = 100 公顷 = 1000000 平方米
(2) 5平方千米 = 500 公顷
(3) 300公顷 = 3 平方千米
(4) 2000000平方米 = 2 平方千米
1km² = 100公顷 = 1000000m²，牢记进率！
一个长方形森林公园长8000米、宽5000米，面积是多少平方千米？合多少公顷？
面积：8000 × 5000 = 40000000（平方米）
40000000平方米 = 40（平方千米）
40平方千米 = 4000（公顷）
答：面积是40平方千米，合4000公顷。
练习4 — 吨（t）的认识
在○里填上">""<"或"="：
(1) 3吨 ○ 3000千克
(2) 5000千克 ○ 6吨
(3) 8吨 ○ 7500千克
(4) 2吨500千克 ○ 2500千克
(1) 3吨 = 3000千克 → =
(2) 5000千克 = 5吨 < 6吨 → <
(3) 8吨 = 8000千克 > 7500千克 → >
(4) 2吨500千克 = 2500千克 → =
1吨 = 1000千克，比较时先统一单位。
一辆卡车载重8吨，现有每袋重50千克的大米，最多能装多少袋？
8吨 = 8000千克
8000 ÷ 50 = 160（袋）
答：最多能装160袋。
⚠️ 注意单位换算！吨要换算成千克再计算。
练习5 — 毫升（mL）与升（L）的认识
填一填：
(1) 2升 = ______ 毫升
(2) 1500毫升 = ______ 升 ______ 毫升
(3) 一瓶矿泉水约500 ______（填单位）
(4) 一个热水壶能装2.5 ______（填单位）
(1) 2升 = 2000 毫升
(2) 1500毫升 = 1升500毫升
(3) 一瓶矿泉水约500 毫升（mL）
(4) 一个热水壶能装2.5 升（L）
1升 = 1000毫升。
一个水桶的容量是8升，用容量为500毫升的杯子接水，至少需要接多少次才能装满水桶？
8升 = 8000毫升
8000 ÷ 500 = 16（次）
答：至少需要接16次才能装满水桶。
第三单元 · 分数的初步认识（二） 练习题（上册）
练习1 — 分数的大小比较（同分母/同分子）
在○里填上">""<"或"="：
(1) $\frac{3}{8}$ ○ $\frac{5}{8}$
(2) $\frac{7}{12}$ ○ $\frac{5}{12}$
(3) $\frac{1}{3}$ ○ $\frac{1}{5}$
(4) $\frac{4}{9}$ ○ $\frac{4}{7}$
(1) $\frac{3}{8}$ < $\frac{5}{8}$ → <（分母相同，分子大的大）
(2) $\frac{7}{12}$ > $\frac{5}{12}$ → >
(3) $\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{5}$ → >（分子相同，分母小的大）
(4) $\frac{4}{9}$ < $\frac{4}{7}$ → <
同分母比分子，分子大分数大；同分子比分母，分母小分数大。
小明吃了蛋糕的$\frac{1}{4}$，小红吃了蛋糕的$\frac{1}{3}$。谁吃得多？为什么？
比较：$\frac{1}{4}$ 和 $\frac{1}{3}$
分子相同（都是1），分母4>3，所以$\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{3}$
答：小红吃得多，因为把蛋糕平均分成3份，每份比平均分成4份的每份大。
分的份数越少，每份就越大。
练习2 — 分数的加减计算（同分母）
计算：
(1) $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} =$
(2) $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} =$
(3) $\frac{3}{10} + \frac{4}{10} =$
(4) $\frac{7}{12} - \frac{5}{12} =$
(1) $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$
(2) $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
(3) $\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10}$
(4) $\frac{7}{12} - \frac{5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。结果能约分的要约分。
一根绳子长$\frac{9}{10}$米，第一次用去$\frac{3}{10}$米，第二次用去$\frac{4}{10}$米，还剩多少米？
$\frac{9}{10} - \frac{3}{10} - \frac{4}{10} = \frac{9 - 3 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}（米）$
答：还剩$\frac{1}{5}$米。
一盒牛奶有1升，小明喝了$\frac{3}{8}$升，小红喝了$\frac{2}{8}$升，剩下的比$\frac{1}{4}$升多还是少？
一共喝了：$\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$（升）
剩下：$1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$（升）
比较：$\frac{3}{8}$ 和 $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$
$\frac{3}{8} > \frac{2}{8}$，所以剩下的比$\frac{1}{4}$升多。
答：剩下的比$\frac{1}{4}$升多。
第四单元 · 整数的四则运算 练习题（上册）
练习1 — 工作效率、工作时间、工作量
根据"工作量 = 工作效率 × 工作时间"填空：
(1) 每小时做15朵花，3小时做 ______ 朵。
(2) 每天看20页书，______ 天能看100页。
(3) 5天生产了250个零件，每天生产 ______ 个。
(1) 15 × 3 = 45（朵）
(2) 100 ÷ 20 = 5（天）
(3) 250 ÷ 5 = 50（个）
工作量 = 工作效率 × 工作时间；工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间；工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率。
一台机器每小时能生产30个零件，照这样计算，8小时能生产多少个零件？如果要生产900个零件，需要多少小时？
8小时：30 × 8 = 240（个）
900个需要：900 ÷ 30 = 30（小时）
答：8小时能生产240个零件，生产900个需要30小时。
练习2 — 三步计算式题
计算下面各题：
(1) 25 + 75 × 4 − 50
(2) (125 + 75) ÷ 5 × 8
(3) 360 ÷ (12 + 18) × 5
(1) 25 + 75 × 4 − 50 = 25 + 300 − 50 = 275
(2) (125 + 75) ÷ 5 × 8 = 200 ÷ 5 × 8 = 40 × 8 = 320
(3) 360 ÷ (12 + 18) × 5 = 360 ÷ 30 × 5 = 12 × 5 = 60
先乘除后加减，有括号先算括号里面的。
给下面的算式添上括号，使等式成立：
(1) 120 + 80 ÷ 4 × 2 = 25
(2) 120 + 80 ÷ 4 × 2 = 160
(1) (120 + 80) ÷ 4 × 2 = 200 ÷ 4 × 2 = 50 × 2 = 100……不对，再试
(1) (120 + 80) ÷ (4 × 2) = 200 ÷ 8 = 25 ✓
(2) (120 + 80 ÷ 4) × 2 = (120 + 20) × 2 = 140 × 2 = 280……不对
(2) 120 + 80 ÷ (4 × 2) = 120 + 80 ÷ 8 = 120 + 10 = 130……不对
(2) 120 + (80 ÷ 4) × 2 = 120 + 20 × 2 = 120 + 40 = 160 ✓
答：(1) 应添为 (120 + 80) ÷ (4 × 2)； (2) 应添为 120 + (80 ÷ 4) × 2。
练习3 — 正推与逆推
根据下面的流程图，算一算输入的数是多少？
输入 □ → 加上25 → 乘以4 → 减去20 → 输出200
逆推（从结果往回推，每一步用逆运算）：
200 + 20 = 220
220 ÷ 4 = 55
55 − 25 = 30
验证：30 + 25 = 55，55 × 4 = 220，220 − 20 = 200 ✓
答：输入的数30。
一个数先乘以6，再除以3，加上12，最后减去8，结果是26。这个数是多少？
逆推法（从结果开始，每一步做逆运算）：
26 + 8 = 34
34 − 12 = 22
22 × 3 = 66
66 ÷ 6 = 11
验证：11 × 6 = 66，66 ÷ 3 = 22，22 + 12 = 34，34 − 8 = 26 ✓
答：这个数是11。
练习4 — 运算定律（交换/结合/分配律）
用简便方法计算：
(1) 25 × 37 × 4
(2) 125 × (80 + 8)
(3) 48 × 99 + 48
(4) 36 × 101
(1) 25 × 37 × 4 = (25 × 4) × 37 = 100 × 37 = 3700（乘法交换/结合律）
(2) 125 × (80 + 8) = 125 × 80 + 125 × 8 = 10000 + 1000 = 11000（乘法分配律）
(3) 48 × 99 + 48 = 48 × (99 + 1) = 48 × 100 = 4800（乘法分配律逆用）
(4) 36 × 101 = 36 × (100 + 1) = 3600 + 36 = 3636（乘法分配律）
看到25想4找凑整，看到125想8，分配律是简算的利器！
用两种方法计算下面各题，说说运用了什么运算定律：
(1) 102 × 45
(2) 125 × 32 × 25
(1) 方法一（直接算）：102 × 45 = 4590
方法二（分配律）：102 × 45 = (100 + 2) × 45 = 100 × 45 + 2 × 45 = 4500 + 90 = 4590
(2) 125 × 32 × 25 = 125 × (8 × 4) × 25 = (125 × 8) × (4 × 25) = 1000 × 100 = 100000
运用了乘法结合律，把32拆成8×4再凑整。
第五单元 · 几何小实践 练习题（上册）
练习1 — 圆的初步认识
填一填：
(1) 圆中心的点叫做______，用字母______表示。
(2) 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做______，用字母______表示。
(3) 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做______，用字母______表示。
(4) 在同一个圆中，直径是半径的______倍。
(1) 圆心，用字母 O 表示
(2) 半径，用字母 r 表示
(3) 直径，用字母 d 表示
(4) 直径是半径的 2 倍（d = 2r）
圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
用圆规画一个半径为3厘米的圆，圆规两脚之间的距离是多少？这个圆的直径是多少？
圆规两脚之间的距离 = 圆的半径 = 3厘米
直径 = 2 × 半径 = 2 × 3 = 6（厘米）
答：圆规两脚之间的距离是3厘米，直径是6厘米。
练习2 — 线段、射线、直线
判断下列说法是否正确（对的打"✓"，错的打"✗"）：
(1) 一条直线长5米。（ ）
(2) 射线有一个端点。（ ）
(3) 线段有两个端点，可以量出长度。（ ）
(4) 射线比直线短。（ ）
(1) ✗ 直线可以向两端无限延伸，不能度量长度。
(2) ✓ 射线有一个端点，向一端无限延伸。
(3) ✓ 线段有两个端点，可以量出长度。
(4) ✗ 射线和直线都是无限长的，不能比较长短。
⚠️ 记住：只有线段能度量长度！
经过下面各点画直线：
(1) 经过一点可以画______条直线。
(2) 经过两点可以画______条直线。
(3) 过两点只能画______条直线。
(1) 经过一点可以画无数条直线。
(2) 经过两点可以画一条直线。
(3) 过两点只能画一条直线。
"两点确定一条直线"——这是直线的基本性质。
练习3 — 角的认识与分类
把下面各角的度数填入正确的类别中：
15°、90°、180°、135°、360°、89°、91°、45°
锐角：______
直角：______
钝角：______
平角：______
周角：______
锐角（小于90°）：15°、89°、45°
直角（等于90°）：90°
钝角（大于90°小于180°）：135°、91°
平角（等于180°）：180°
周角（等于360°）：360°
角的分类口诀：小于90是锐角，等于90是直角，大于90小于180是钝角，等于180是平角，等于360是周角。
时钟在下面时刻，时针和分针成什么角？
(1) 3时整 → ______角
(2) 6时整 → ______角
(3) 9时整 → ______角
(4) 12时整 → ______角
(1) 3时整 → 直角（90°）
(2) 6时整 → 平角（180°）
(3) 9时整 → 直角（90°）
(4) 12时整 → 周角（360°）
钟面一圈360°，每小时时针走30°，分针走360°。
练习4 — 角的度量
用量角器量角时，应该做到：
(1) 量角器的______与角的顶点重合。
(2) 量角器的______刻度线与角的一条边重合。
(3) 角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的______。
(4) 角的计量单位是______，用符号"______"表示。
(1) 中心点与角的顶点重合。
(2) 0°刻度线与角的一条边重合。
(3) 另一条边所对的刻度就是角的度数。
(4) 角的计量单位是度，用符号"°"表示。
量角口诀："中心对顶点，0线对一边，再看另一边，度数上面看。"
∠1和∠2组成一个平角，∠1 = 65°，∠2是多少度？
平角 = 180°
∠2 = 180° − 65° = 115°
答：∠2是115°。
下图中共有几个角？分别是多少度？（已知∠1 = 30°，∠2是直角）
[示意图：两条直线相交，标出∠1、∠2、∠3、∠4]
两条直线相交，形成4个角：
∠1 = 30°（已知）
∠2 = 90°（直角）
∠3 = 180° − 90° = 90°（与∠2邻补）
∠4 = 180° − 30° − 90° − 90° = 180° − 210°......
等等，不对。两条直线相交，对角相等，邻角互补：
∠1 = 30°，∠3 = ∠1 = 30°（对顶角相等）
∠2 = 90°，∠4 = ∠2 = 90°（对顶角相等）
验证：30° + 90° + 30° + 90° = 240°...... 不对，相交直线形成4个角的总和是360°。
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 30° + 90° + 30° + 90° = 240°，但应该是360°。
⚠️ 这里∠2不是相邻角！如果∠1=30°，∠2是其邻角=180°−30°=150°，不是90°。
但题目说∠2是直角，说明这个问题本身有矛盾。
修正：假设∠1=30°，且∠2=90°，则∠3=180°−90°=90°，∠4=180°−30°=150°。
共4个角：∠1=30°、∠2=90°、∠3=90°、∠4=150°。
两条直线相交，邻角互补（和为180°），对顶角相等。
第六单元 · 整理与提高 练习题（上册）
练习1 — 大数与凑整
用四舍五入法省略万位后面的尾数：
(1) 568200 ≈ ______ 万
(2) 499600 ≈ ______ 万
(3) 750300 ≈ ______ 万
(4) 804900 ≈ ______ 万
(1) 568200 ≈ 57万（千位8≥5进一）
(2) 499600 ≈ 50万（千位9≥5进一，进位后49+1=50）
(3) 750300 ≈ 75万（千位0<5舍去）
(4) 804900 ≈ 80万（千位4<5舍去）
⚠️ 注意：499600进一后49变成50！
用四舍五入法省略亿位后面的尾数：
(1) 123456789 ≈ ______ 亿
(2) 875000000 ≈ ______ 亿
(3) 950000000 ≈ ______ 亿
(4) 1490000000 ≈ ______ 亿
(1) 123456789 ≈ 1亿（千万位2<5舍去）
(2) 875000000 ≈ 9亿（千万位7≥5进一）
(3) 950000000 ≈ 10亿（千万位5≥5进一，9+1=10）
(4) 1490000000 ≈ 15亿（千万位9≥5进一，14+1=15）
省略亿位看千万位，四舍五入后再加"亿"字。
一个数省略万位后面的尾数后是26万，这个数在______到______之间。
这个数在255000到264999之间。
最小：千位≥5进一得26万 → 255000
最大：千位<5舍去得26万 → 264999
"五入"得最小值（末尾5000），"四舍"得最大值（末尾4999）。
练习2 — 相等的角
两条直线相交，其中∠1 = 55°，求∠2、∠3、∠4各是多少度？
∠3 = ∠1 = 55°（对顶角相等）
∠2 = 180° − 55° = 125°（邻补角）
∠4 = ∠2 = 125°（对顶角相等）
答：∠2=125°，∠3=55°，∠4=125°。
两条直线相交，对顶角相等，邻角互补。
如图，∠1 = ∠2，∠3 = 60°，求∠1和∠2的度数。
[三条直线相交于一点，∠1和∠2相邻，∠3和∠1、∠2相邻]
三条直线交于一点，所有角之和为360°。
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4（设∠4为剩下的角）= 360°
由题可知∠1 = ∠2，∠3 = 60°
又因为对顶角关系，设∠4 = ∠3 = 60°
∠1 + ∠2 + 60° + 60° = 360°
∠1 + ∠2 = 240°
因为∠1 = ∠2，所以∠1 = ∠2 = 240° ÷ 2 = 120°
验算：120° + 120° + 60° + 60° = 360° ✓
答：∠1和∠2都是120°。
第一单元 · 复习与提高 练习题（下册）
练习1 — 四则运算的意义和各部分关系
根据加、减、乘、除法各部分间的关系填空：
(1) 一个加数 = ______ − 另一个加数
(2) 被除数 = ______ × 除数
(3) 减数 = ______ − 差
(4) 因数 = 积 ÷ ______
(1) 一个加数 = 和 − 另一个加数
(2) 被除数 = 商 × 除数
(3) 减数 = 被减数 − 差
(4) 因数 = 积 ÷ 另一个因数
减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。
在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是360，减数是差的2倍。差是多少？
由减法的关系：被减数 = 减数 + 差
已知被减数 + 减数 + 差 = 360
代入：减数 + 差 + 减数 + 差 = 360
即：2 × (减数 + 差) = 360
减数 + 差 = 180 = 被减数
又知减数是差的2倍，设差为x，减数为2x
x + 2x = 180
3x = 180
x = 60
答：差是60。
验算：差=60，减数=120，被减数=180，180−120=60 ✓，180+120+60=360 ✓
练习2 — 整数的运算性质（减法性质、除法性质）
用简便方法计算：
(1) 538 − 147 − 153
(2) 720 ÷ 8 ÷ 9
(3) 1000 − 368 − 232
(4) 630 ÷ 14 ÷ 5
(1) 538 − 147 − 153 = 538 − (147 + 153) = 538 − 300 = 238（减法性质）
(2) 720 ÷ 8 ÷ 9 = 720 ÷ (8 × 9) = 720 ÷ 72 = 10（除法性质）
(3) 1000 − 368 − 232 = 1000 − (368 + 232) = 1000 − 600 = 400
(4) 630 ÷ 14 ÷ 5 = 630 ÷ (14 × 5) = 630 ÷ 70 = 9
连减 = 减去和；连除 = 除以积。
判断下面各题是否正确，错的请改正：
(1) 450 ÷ 18 = 450 ÷ 9 + 450 ÷ 2 （ ）
(2) 256 − 99 = 256 − 100 − 1 （ ）
(3) 720 ÷ 45 = 720 ÷ 9 ÷ 5 （ ）
(1) ✗ 除法没有分配律！正确算法：450 ÷ 18 = 450 ÷ (9 × 2) = 450 ÷ 9 ÷ 2 = 50 ÷ 2 = 25
(2) ✗ 256 − 99 = 256 − 100 + 1 = 156 + 1 = 157（多减了1要加回）
(3) ✓ 正确，720 ÷ 45 = 720 ÷ (9 × 5) = 720 ÷ 9 ÷ 5 = 80 ÷ 5 = 16
⚠️ 易错：减整数的巧算是"多减要加，少减再减"；除法不能"分配"！
简算：4800 ÷ (48 × 25) =
方法一（去括号）：4800 ÷ (48 × 25) = 4800 ÷ 48 ÷ 25 = 100 ÷ 25 = 4
方法二（先算括号）：48 × 25 = 1200，4800 ÷ 1200 = 4
答：结果是4。
练习3 — 看谁算得巧（简便运算）
用简便方法计算：
(1) 125 × 24
(2) 99 × 56 + 56
(3) 25 × 32 × 125
(4) 101 × 87 − 87
(1) 125 × 24 = 125 × 8 × 3 = 1000 × 3 = 3000
(2) 99 × 56 + 56 = 56 × (99 + 1) = 56 × 100 = 5600
(3) 25 × 32 × 125 = (25 × 4) × (8 × 125) = 100 × 1000 = 100000
(4) 101 × 87 − 87 = 87 × (101 − 1) = 87 × 100 = 8700
找"好朋友数"：25×4=100，125×8=1000，利用乘法分配律提取公因数。
计算：333 × 334 + 999 × 222
观察特点：999 = 333 × 3
333 × 334 + 999 × 222 = 333 × 334 + 333 × 3 × 222 = 333 × 334 + 333 × 666
= 333 × (334 + 666) = 333 × 1000 = 333000
先变形，创造公因数，再利用乘法分配律简算。
第二单元 · 小数的认识与加减法 练习题（下册）
练习1 — 小数的意义和数位
填一填：
(1) 0.4表示______个十分之一，写成分数是______。
(2) 0.25表示______个百分之一，写成分数是______。
(3) 0.007表示______个千分之一，写成分数是______。
(4) 3.126的十分位是______，百分位是______，千分位是______。
(1) 0.4表示4个十分之一，写成分数是$\frac{4}{10}$
(2) 0.25表示25个百分之一，写成分数是$\frac{25}{100}$
(3) 0.007表示7个千分之一，写成分数是$\frac{7}{1000}$
(4) 3.126的十分位是1，百分位是2，千分位是6
十分位是小数点后第1位，百分位是第2位，千分位是第3位。
用数字2、5、0和小数点组成一个三位小数，每个数字只能用一次：
(1) 最大的三位小数是______。
(2) 最小的三位小数是______。
(3) 只读一个"零"的三位小数是______。（写出一个即可）
三个数字和小数点组成一个三位小数：
(1) 最大的三位小数：5.20（即5.200，但要精确到千分位是5.200）
更正：用2、5、0三位数字和小数点，只能组成两位或三位小数。
(1) 最大：5.20（或写作5.200，精确到千分位）
(2) 最小：0.25（或写作0.250）
(3) 只读一个"零"：2.05（读作：二点零五）
注意小数部分每一位都要读出来，0也要读。
练习2 — 小数的大小比较
在○里填上">""<"或"="：
(1) 0.56 ○ 0.65
(2) 3.14 ○ 3.140
(3) 1.08 ○ 1.80
(4) 0.999 ○ 1
(1) 0.56 < 0.65 → <（十分位5<6）
(2) 3.14 = 3.140 → =（小数性质，末尾0不影响大小）
(3) 1.08 < 1.80 → <（十分位0<8）
(4) 0.999 < 1 → <（个位0<1）
比较小数：先看整数部分，整数部分相同再看十分位，逐位比较。
把下面的小数按从大到小的顺序排列：
0.78、0.708、0.807、0.87、0.087
逐位比较：
0.87 > 0.807 > 0.78 > 0.708 > 0.087
比较小数时，位数不同可以在末尾补0再比较，如0.78=0.780。
练习3 — 小数的性质
化简下面的小数（去掉末尾的0）：
(1) 0.800 = ______
(2) 3.040 = ______
(3) 10.000 = ______
(4) 7.0600 = ______
(1) 0.800 = 0.8
(2) 3.040 = 3.04（中间的0不能去掉！）
(3) 10.000 = 10
(4) 7.0600 = 7.06（末尾的00可以去掉，中间的0不能去）
⚠️ 牢记：只有小数末尾的0才能去掉！
不改变大小，把下面的数改写成三位小数：
(1) 0.6 = ______
(2) 5.28 = ______
(3) 12 = ______
(4) 0.0300 = ______
(1) 0.6 = 0.600
(2) 5.28 = 5.280
(3) 12 = 12.000（整数改写成小数，先在个位右下角点上小数点，再补0）
(4) 0.0300 = 0.030（已经是三位小数了，再去掉一个末尾0还是三位小数0.03？不对）
0.0300精确到万分位，改写成三位小数：0.0300 = 0.030
利用小数的性质：小数的末尾添上"0"或去掉"0"，小数的大小不变。
练习4 — 小数点移动规律
填一填：
(1) 把0.45的小数点向右移动一位，结果是______，扩大到原来的______倍。
(2) 把6.2的小数点向左移动两位，结果是______，缩小到原来的______。
(3) 把一个小数的小数点向右移动两位后是35，原数是______。
(4) 把4.8扩大到原来的100倍是______。
(1) 结果是4.5，扩大到原来的10倍
(2) 结果是0.062，缩小到原来的$\frac{1}{100}$
(3) 原数是0.35（向右移动两位扩大100倍，逆推÷100）
(4) 4.8 × 100 = 480
小数点右移→扩大（×10、×100...）；小数点左移→缩小（÷10、÷100...）。
把2.6先扩大到原来的100倍，再缩小到原来的$\frac{1}{1000}$，结果是多少？
扩大到原来的100倍：2.6 × 100 = 260
再缩小到原来的$\frac{1}{1000}$：260 ÷ 1000 = 0.26
或者整体计算：2.6 × 100 ÷ 1000 = 2.6 × $\frac{1}{10}$ = 0.26
答：结果是0.26。
可以先看扩缩的综合倍数再计算。
一个小数，把小数点向右移动两位后得到的数比原数大39.6，原数是多少？
设原数为x，小数点向右移动两位后扩大为原来的100倍，新数为100x
100x − x = 39.6
99x = 39.6
x = 39.6 ÷ 99 = 0.4
验算：0.4 × 100 = 40，40 − 0.4 = 39.6 ✓
答：原数是0.4。
练习5 — 小数加减法
列竖式计算：
(1) 5.68 + 3.24 =
(2) 7.3 − 2.85 =
(3) 6 − 0.47 =
(4) 4.5 + 2.78 =
(1) 5.68 + 3.24 = 8.92
(2) 7.30 − 2.85 = 4.45（被减数补0变成7.30）
(3) 6.00 − 0.47 = 5.53（整数6补成6.00再减）
(4) 4.50 + 2.78 = 7.28
关键：小数点对齐（相同数位对齐），位数不够补0。
妈妈买水果用去25.6元，买蔬菜用去18.4元，买肉用去35.8元。妈妈一共花了多少元？
25.6 + 18.4 + 35.8 = (25.6 + 18.4) + 35.8 = 44 + 35.8 = 79.8（元）
答：妈妈一共花了79.8元。
也可以用简便方法：25.6 + 18.4 = 44（凑整），再+35.8。
一根绳子长10米，第一次剪去3.6米，第二次剪去4.8米。还剩多少米？（用两种方法计算）
方法一（逐步减）：10 − 3.6 − 4.8 = 6.4 − 4.8 = 1.6（米）
方法二（先加后减）：10 − (3.6 + 4.8) = 10 − 8.4 = 1.6（米）
答：还剩1.6米。
两个数的差是25.4，如果被减数减少3.2，减数增加2.8，那么新的差是多少？
原被减数 − 原减数 = 25.4
新被减数 = 原被减数 − 3.2
新减数 = 原减数 + 2.8
新差 = (原被减数 − 3.2) − (原减数 + 2.8) = 原被减数 − 原减数 − 3.2 − 2.8
= 25.4 − 6 = 19.4
答：新的差是19.4。
被减数减少，差减少；减数增加，差也减少。
第三单元 · 统计 练习题（下册）
练习1 — 折线统计图的认识
填一填：
(1) 折线统计图用______上的点表示数据的多少，用______的升降表示数据的变化。
(2) 折线统计图不仅能看出数据的______，还能看出数据的______趋势。
(3) 条形统计图适合比较______，折线统计图适合反映______。
(1) 折线统计图用点上的位置表示数据的多少，用折线的升降表示数据的变化。
(2) 不仅能看出数据的多少，还能看出数据的变化趋势。
(3) 条形统计图适合比较不同类数据的大小，折线统计图适合反映数据的变化趋势。
折线统计图的优势：清楚地看出数据的变化情况和趋势。
下面是小丽一周的体温记录表（单位：°C）：
周一：36.8、周二：37.2、周三：38.5、周四：39.0、周五：38.2、周六：37.5、周日：36.9
(1) 哪一天的体温最高？是多少度？
(2) 哪一天到哪一天体温上升最快？上升了多少度？
(3) 从周四到周日体温的变化趋势是什么？
(1) 周四体温最高，是39.0°C
(2) 周二到周三体温上升最快，上升了 38.5 − 37.2 = 1.3°C
(3) 从周四到周日，体温从39.0°C逐渐下降到36.9°C，趋势是逐渐下降（好转）
折线越陡，数据变化越大。
练习2 — 折线统计图的画法
画折线统计图的一般步骤是什么？把下面的步骤按顺序排列：
A. 描点 B. 确定横轴和纵轴 C. 连线 D. 标数据 E. 写标题
正确的顺序是：______ → ______ → ______ → ______ → ______
正确的顺序是：
画折线统计图口诀：先写标题再画轴，根据数据描好点，标上数据再连线。
某商场2024年各季度空调销量如下（单位：台）：
第一季度：120、第二季度：480、第三季度：560、第四季度：200
请根据以上数据回答：
(1) 哪个季度销量最高？哪个季度销量最低？
(2) 从第一季度到第三季度销量变化趋势是什么？
(3) 全年一共销售了多少台空调？
(1) 第三季度销量最高（560台），第一季度销量最低（120台）
(2) 从第一季度到第三季度销量持续上升（120→480→560）
(3) 全年销量：120 + 480 + 560 + 200 = 1360（台）
答：全年一共销售了1360台空调。
空调销量受季节影响，夏天（第二、三季度）销量高，符合生活常识。
第四单元 · 几何小实践 练习题（下册）
练习1 — 垂直（垂线、垂足）
填一填：
(1) 两条直线相交成______时，这两条直线互相垂直。
(2) 其中一条直线叫做另一条直线的______。
(3) 两条直线的交点叫做______。
(4) 从直线外一点到这条直线所画的______线段最短，它的长度叫做点到直线的______。
(1) 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
(2) 其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
(3) 两条直线的交点叫做垂足。
(4) 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离。
垂直用符号"⊥"表示，读作"垂直于"。
判断下面说法是否正确（对的打"✓"，错的打"✗"）：
(1) 两条直线相交就是垂直。（ ）
(2) 长方形相邻的两条边互相垂直。（ ）
(3) 过直线外一点画已知直线的垂线，只能画一条。（ ）
(4) 直线a⊥b，那么b⊥a。（ ）
(1) ✗ 两条直线相交不一定垂直，只有相交成直角才是垂直。
(2) ✓ 长方形四个角都是直角，邻边互相垂直。
(3) ✓ 过直线外一点有且只有一条垂线。
(4) ✓ 垂直是相互的，a⊥b则b⊥a。
⚠️ 区分"相交"和"垂直"：垂直是相交的特殊情况。
练习2 — 平行（平行线）
填一填：
(1) 在同一平面内，______的两条直线叫做平行线。
(2) 平行线之间的距离处处______。
(3) 长方形有______组对边互相平行。
(4) 平行用符号"______"表示。
(1) 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
(2) 平行线之间的距离处处相等。
(3) 长方形有两组对边互相平行。
(4) 平行用符号"∥"表示。
平行线特点：不相交、距离处处相等。
在同一平面内，两条直线可能有哪些位置关系？请画出示意图并说明。
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：
(1) 相交：两条直线有一个交点（特殊：垂直是相交的特殊情况）
(2) 平行：两条直线没有交点，距离处处相等
在同一平面内，不相交就一定平行；但不在同一平面的两条直线可能既不平行也不相交（异面）。
如果一个四边形的两组对边分别平行，并且四个角都是直角，这个四边形是什么图形？它的对边有什么特点？
两组对边分别平行 → 这个四边形是平行四边形
四个角都是直角 → 这个四边形是长方形（矩形）
所以这个四边形是长方形。
它的对边特点：平行且相等。
正方形是特殊的长方形（四条边都相等）。
第五单元 · 整理与提高 练习题（下册）
练习1 — 解决问题（2）
学校买了5个篮球和8个足球，每个篮球65元，每个足球48元，一共花了多少元？
篮球总价：65 × 5 = 325（元）
足球总价：48 × 8 = 384（元）
一共：325 + 384 = 709（元）
答：一共花了709元。
某工程队修一条路，已经修了16天，每天修35米，还剩480米没修。这条路全长多少米？
已经修的长度：35 × 16 = 560（米）
全长 = 已修 + 未修 = 560 + 480 = 1040（米）
答：这条路全长1040米。
解决这类问题要分清"已修"和"未修"两部分。
练习2 — 小数与近似数（四舍五入）
用四舍五入法求下面小数的近似数：
(1) 0.5678 保留一位小数 ≈ ______
(2) 0.5678 保留两位小数 ≈ ______
(3) 3.149 保留一位小数 ≈ ______
(4) 3.149 保留两位小数 ≈ ______
(1) 0.5678 ≈ 0.6（看百分位6≥5，进一）
(2) 0.5678 ≈ 0.57（看千分位7≥5，进一）
(3) 3.149 ≈ 3.1（看百分位4<5，舍去）
(4) 3.149 ≈ 3.15（看千分位9≥5，进一，4+1=5）
保留几位小数就看下一位，≥5入，<5舍。
一个三位小数用四舍五入法保留两位小数后是3.50，这个三位小数最大是多少？最小是多少？
保留两位小数后是3.50：
最大（四舍型）：第三位≤4 → 3.504
最小（五入型）：第三位≥5 → 3.495（进一得3.50）→ 3.495
答：最大是3.504，最小是3.495。
⚠️ 注意：3.504和3.495都在约等于3.50的范围内。
练习3 — 数学广场
五舍六入法：用五舍六入法保留整数。
某超市统计了每天的客流量，请你用五舍六入法（保留整数）：
(1) 周一：1235人 ≈ ______ 人
(2) 周二：1569人 ≈ ______ 人
(3) 周三：1044人 ≈ ______ 人
(4) 周四：1496人 ≈ ______ 人
(1) 1235人 → 看十位5≥5 → 按四舍五入≈1240，但五舍六入看个位3<6 → 去掉 → 123?
等等，"五舍六入保留整数"意思是看十分位。
(1) 1235.0 → 十分位0<6 → 舍去 → 1235人
(2) 1569.0 → 十分位0<6 → 舍去 → 1569人
(3) 1044.0 → 十分位0<6 → 舍去 → 1044人
(4) 1496.0 → 十分位0<6 → 舍去 → 1496人
这些已经是整数了，五舍六入不影响。
换个例子：
3.6 → 十分位6≥6 → 入 → 4
3.5 → 十分位5<6（五舍）→ 舍去 → 3
3.4 → 十分位4<6 → 舍去 → 3
3.9 → 十分位9≥6 → 入 → 4
所以"五舍六入"和"四舍五入"的区别在于：5在四舍五入时入，在五舍六入时舍。
计算比赛场次：有6支球队进行单循环比赛（每两支球队之间都要赛一场），一共要比赛多少场？
方法一：每支球队要和另外5支比赛，6 × 5 ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15（场）
方法二（列举法）：第1队vs第2/3/4/5/6队（5场），第2队vs第3/4/5/6队（4场），依此类推
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15（场）
答：一共要比赛15场。
单循环公式：比赛场数 = n(n−1) ÷ 2（n为球队数）。
四年级有5个班进行拔河比赛，采用单循环赛制。如果比赛从4月1日开始，每天安排2场比赛，最快要到几月几日结束？
比赛场数：5 × (5 − 1) ÷ 2 = 5 × 4 ÷ 2 = 10（场）
每天2场，需要：10 ÷ 2 = 5（天）
从4月1日开始，第5天是4月1日 + 5 − 1 = 4月5日
答：最快到4月5日结束。
计算日期时注意：从第1天开始，第n天就是开始日期 + (n−1)。
位置的表示方法：在教室里，小明的座位在第3列第2行，用数对表示为（3，2）。
(1) 小红的座位在第5列第4行，用数对表示为（______，______）。
(2) 小刚的座位用数对表示是（2，6），他在第______列第______行。
(3) (1，1)和(3，3)在同一个______上（填"行"或"列"）。
(1) （5，4）
(2) 第2列第6行
(3) (1，1)和(3，3)既不在同一行也不在同一列，它们是对角线上的关系。
同一个行：数对中第二个数相同；同一个列：数对中第一个数相同。
数对（列，行）——先列后行，括号里用逗号隔开。