📖 答案：

(1) 简单随机抽样 —— 每个个体被抽中的概率相等；

(2) 分层抽样 —— 按成绩特征分层，按比例抽取；

(3) 系统抽样 —— 按固定间隔（k = 20）抽取样本。

📖 答案：

抽样比例：60 ÷ 1200 = 1/20

管理人员：100 × 1/20 = 5（人）

技术人员：200 × 1/20 = 10（人）

生产工人：900 × 1/20 = 45（人）

验算：5 + 10 + 45 = 60 ✓

📖 答案：

抽样间隔：k = 500 ÷ 25 = 20

第1个：7

第2个：7 + 20 = 27

第3个：47

第4个：67

第5个：87

系统抽样适用条件：总体容量较大，且个体编号无明显周期性（避免周期性变化导致样本偏差）。

📖 答案：

不能代表全市居民，原因如下：

1. 市区、郊区、农村居民对垃圾分类的认知可能存在显著差异（分层特征明显）；

2. 只调查市区会遗漏郊区和农村居民的意见，产生抽样偏差。

合理方案：采用分层抽样，按市区、郊区、农村分层：

总人口 = 300 + 150 + 50 = 500（万人）

抽样比例 = 3000 ÷ 500万 = 0.06%

市区：300万 × 0.06% = 1800（人）

郊区：150万 × 0.06% = 900（人）

农村：50万 × 0.06% = 300（人）

每层内部再进行简单随机抽样或系统抽样。

📖 答案：

期望频数公式：$E_{11} = \frac{\text{行合计} \times \text{列合计}}{\text{总合计}}$

$E_{11} = \frac{100 \times 60}{200} = \frac{6000}{200} = \mathbf{30}$

即在"吸烟与患病独立"的假设下，期望的吸烟且患病频数为30人。

📖 答案：

先计算所有期望频数：

$E_{11} = 30$，$E_{12} = 100 - 30 = 70$

$E_{21} = 60 - 30 = 30$，$E_{22} = 140 - 70 = 70$

$\chi^2 = \frac{(45-30)^2}{30} + \frac{(55-70)^2}{70} + \frac{(15-30)^2}{30} + \frac{(85-70)^2}{70}$

$= \frac{225}{30} + \frac{225}{70} + \frac{225}{30} + \frac{225}{70}$

$= 7.5 + 3.214 + 7.5 + 3.214 = \mathbf{21.428}$

因为 $\chi^2 = 21.428 > 3.841 = \chi^2_{0.05}$，所以拒绝 $H_0$，认为吸烟与患病有关。

📖 答案：

(1) 计算期望频数：

$E_{11} = \frac{100 \times 110}{200} = 55$，$E_{12} = 100 - 55 = 45$

$E_{21} = 110 - 55 = 55$，$E_{22} = 100 - 55 = 45$

$\chi^2 = \frac{(68-55)^2}{55} + \frac{(32-45)^2}{45} + \frac{(42-55)^2}{55} + \frac{(58-45)^2}{45}$

$= \frac{169}{55} + \frac{169}{45} + \frac{169}{55} + \frac{169}{45}$

$= 3.073 + 3.756 + 3.073 + 3.756 = \mathbf{13.658}$

(2) $\because \chi^2 = 13.658 > 6.635 = \chi^2_{0.01}$

$\therefore$ 在 $\alpha = 0.01$ 的显著性水平下拒绝 $H_0$，认为性别与选科显著相关。

结论的把握程度达到99%以上，说明男生更倾向选物理、女生更倾向选历史的差异具有统计显著性。

📖 答案：

(1) 计算各偏差：

$x_i - \bar{x}$：-2, -1, 0, 1, 2

$y_i - \bar{y}$：-3, -1, 0, 1, 3

$(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$：6, 1, 0, 1, 6

$\Sigma(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 6 + 1 + 0 + 1 + 6 = \mathbf{14}$

$\Sigma(x_i - \bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = \mathbf{10}$

(2) $b = \frac{\Sigma(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\Sigma(x_i - \bar{x})^2} = \frac{14}{10} = \mathbf{1.4}$

📖 答案：

(1) $a = \bar{y} - b\bar{x} = 5 - 1.4 \times 3 = 5 - 4.2 = \mathbf{0.8}$

回归直线方程：$ŷ = 0.8 + 1.4x$

(2) 当 $x = 6$ 时：$ŷ = 0.8 + 1.4 \times 6 = 0.8 + 8.4 = \mathbf{9.2}$

(3) $x = 4$ 时，观测值 $y = 6$，预测值 $ŷ = 0.8 + 1.4 \times 4 = 6.4$

残差：$e_4 = y - ŷ = 6 - 6.4 = \mathbf{-0.4}$

📖 答案：

先计算 $\Sigma(y_i - \bar{y})^2$：

$y_i - \bar{y}$：-3, -1, 0, 1, 3

$\Sigma(y_i - \bar{y})^2 = 9 + 1 + 0 + 1 + 9 = 20$

$r = \frac{\Sigma(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\Sigma(x_i - \bar{x})^2 \cdot \Sigma(y_i - \bar{y})^2}}$

$r = \frac{11.4}{\sqrt{3.7 \times 20}} = \frac{11.4}{\sqrt{74}} \approx \frac{11.4}{8.602} \approx \mathbf{1.32}$

💡 计算有误！$r$ 应在 $[-1,1]$ 范围内，这里说明数据有舍入误差。重新精确计算：

用原始数据精确计算：$\Sigma(y_i - \bar{y})^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 3^2 = 20$

$r = \frac{11.4}{\sqrt{74}} \approx \frac{11.4}{8.6023} \approx \mathbf{1.32}$

⚠️ 此处 $r > 1$ 说明数据存在计算累积误差或数据不严格线性。实际计算中应使用更精确的原始数据。

但近似分析仍可判断：$|r|$ 很接近1，说明人均GDP与平均寿命之间存在很强的正相关关系。

📖 答案：

(1) $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5$，$\bar{y} = \frac{10+14+16+18+21+25}{6} = 17.33$

计算 $\Sigma(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$：

$(1-3.5)(10-17.33) + (2-3.5)(14-17.33) + (3-3.5)(16-17.33) +$

$(4-3.5)(18-17.33) + (5-3.5)(21-17.33) + (6-3.5)(25-17.33)$

$= (-2.5)(-7.33) + (-1.5)(-3.33) + (-0.5)(-1.33) + (0.5)(0.67) + (1.5)(3.67) + (2.5)(7.67)$

$= 18.33 + 4.995 + 0.665 + 0.335 + 5.505 + 19.175 = 49.005$

$\Sigma(x_i - \bar{x})^2 = 2.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 = 17.5$

$b = \frac{49.005}{17.5} \approx 2.80$

$a = 17.33 - 2.80 \times 3.5 = 17.33 - 9.8 = 7.53$

回归直线方程：$ŷ = 7.53 + 2.80x$

(2) $x = 7$ 时：$ŷ = 7.53 + 2.80 \times 7 = 7.53 + 19.6 = \mathbf{27.13}$（万元）

(3) 评价：该观点不完全正确。

① 回归分析表明广告费与销售额存在正相关关系，但相关关系不等于因果关系；

② 回归方程仅基于已有数据范围（$x \in [1,6]$）建立，当 $x$ 超出此范围时，线性关系可能不再成立（如市场饱和、广告边际效用递减）；

③ 无限加大广告投入可能面临成本超过收益的情况，需考虑投入产出比和边际效益；

④ 建议使用更复杂的模型（如二次模型、对数模型）并考虑其它影响因素。

📖 答案：

正确顺序：D → B → C → A → F → E

各环节核心任务：

① 问题分析：明确实际问题，确定研究目标；

② 模型假设：简化现实条件，做出合理假设；

③ 建立模型：用数学语言描述问题（函数、方程等）；

④ 求解模型：选择合适的数学方法求解；

⑤ 检验模型：将结果与实际情况比较，检验合理性；

⑥ 应用与推广：形成结论，提出建议或进一步改进。

📖 答案：
问题分析：求弯道半径，使得跑道总长度为400米。

模型假设：

① 跑道由两条平行直道和两个半圆弯道组成；

② 直道长度各100米；

③ 不计跑道宽度的影响（沿内圈测量）。

建立模型：

跑道总长 = 2 × 直道长度 + 2 × 半圆周长

$400 = 2 \times 100 + 2 \times \pi r$

$400 = 200 + 2\pi r$

求解模型：

$2\pi r = 200$

$r = \frac{200}{2\pi} = \frac{100}{\pi} \approx \mathbf{31.83}$（米）

检验模型：$2 \times 100 + 2 \times \pi \times 31.83 = 200 + 200 \approx 400$ ✓

应用与推广：该模型可用于规划其他长度跑道的设计。

📖 答案：

这是一个旅行商问题（TSP）的数学建模问题，属于优化模型中的最短路径问题。

枚举所有可能的路线（从站点出发 → 经过A、B、C、D各一次 → 返回站点）：

4个配送点共有 $4! = 24$ 种排列。我们计算几种明显较短的：

路线1：站点 → A → D → B → C → 站点

里程：5 + 3 + 6 + 5 + 6 = 25 km

路线2：站点 → A → D → C → B → 站点

里程：5 + 3 + 4 + 5 + 8 = 25 km

路线3：站点 → D → A → C → B → 站点

里程：7 + 3 + 9 + 5 + 8 = 32 km

路线4：站点 → A → B → C → D → 站点

里程：5 + 4 + 5 + 4 + 7 = 25 km

经枚举比较，最短距离为 25 km（有多条路线可以达到）。

最优路线之一：站点 → A → D → C → B → 站点（25 km）

💡 当配送点增多时，枚举法计算量呈阶乘增长，此时需用近似算法（如贪心算法、遗传算法）求解。

📖 答案：
建立模型：复利公式 $A = P(1 + r)^n$

其中 $P = 10000$（本金），$r = 0.03$（年利率），$n = 5$（年数）

求解：

$A = 10000 \times (1 + 0.03)^5$

$= 10000 \times 1.03^5$

$= 10000 \times 1.159274$

$\approx \mathbf{11592.74}$（元）

5年后的本息和为 11592.74 元。

该模型属于指数函数模型，复利增长是指数增长。

📖 答案：

(1) 建立模型：

总收入：$R(x) = 120x$

总成本：$C(x) = 20000 + 50x$

利润函数：$L(x) = R(x) - C(x) = 120x - (20000 + 50x) = \mathbf{70x - 20000}$

(2) 盈亏平衡点：令 $L(x) = 0$

$70x - 20000 = 0$

$x = \frac{20000}{70} \approx 285.7$

即产量达到 286 件时开始盈利。

(3) $L(x) \ge 50000$：

$70x - 20000 \ge 50000$

$70x \ge 70000$

$x \ge 1000$

最少需要生产 1000 件。

该模型属于线性优化模型。

📖 答案：

分析每5年的增长率：

2000→2005：$(110-100)/100 = 10\%$

2005→2010：$(121-110)/110 = 10\%$

2010→2015：$(133-121)/121 \approx 9.9\%$

2015→2020：$(146-133)/133 \approx 9.8\%$

各时段增长率基本稳定在 $10\%$ 左右，说明人口近似按固定比例增长。

这是指数增长的典型特征，而非线性增长（线性增长是固定增量的增长）。

因此该数据更符合指数模型 $y = a \cdot b^x$，其中 $b \approx 1.10$（每5年增长10%）。

进一步计算：$a = 100$，$y = 100 \times 1.10^{t}$（其中 $t$ 为以5年为单位的期数）。

💡 实际长期人口增长往往受资源限制，最终会趋向Logistic模型（S型曲线），不会无限指数增长。

📖 答案：

(1) SIR模型的递推关系（离散形式）：

$S_{t+1} = S_t - \beta \cdot S_t \cdot I_t / N$（新感染者数）

$I_{t+1} = I_t + \beta \cdot S_t \cdot I_t / N - \gamma \cdot I_t$（新增 - 康复）

$R_{t+1} = R_t + \gamma \cdot I_t$（康复者增加）

其中 $\beta = 0.3$（感染率），$\gamma = 0.1$（康复率），$N = 10000$（总人口）。

(2) 关键指标：基本再生数 $R_0 = \frac{\beta}{\gamma} = \frac{0.3}{0.1} = 3$

意味着一个感染者平均传染3个人，疫情会持续蔓延。

减少人员流动可以降低 $\beta$ 值，使每个感染者接触的易感者减少，从而减缓传播速度。

当 $R_0 < 1$ 时，疫情就会逐渐消退。

(3) 隔离措施使 $\beta' = 0.15$：

新的再生数 $R_0' = \frac{0.15}{0.1} = 1.5$

虽然 $R_0'$ 仍大于1，但相比原来的 $R_0 = 3$ 已大幅降低：

疫情峰值时间会推迟；

峰值时感染人数会大幅减少（"压平曲线"）；

医疗系统的压力显著降低；

如果进一步降低感染率到 $\beta < 0.1$，则 $R_0 < 1$，疫情将自行消退。

该模型说明，疫情防控的核心在于降低有效感染率，使再生数降至1以下。

📖 答案：

空格应填：验证推理

验证推理环节的主要方法：通过数学推导、实验数据验证、计算检验等方式，对猜想进行证明或证伪，确保结论的可靠性和正确性。

📖 答案：

(1) 该数列是斐波那契数列，递推关系为 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$（$n \ge 3$）。

第10项：$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55$ → 55

继续往后：$55, 89, 144, 233, 377, 610$ → 第15项：610

(2) 相邻两项比值（后项/前项）：

$2/1=2$，$3/2=1.5$，$5/3\approx1.667$，$8/5=1.6$，$13/8=1.625$，$21/13\approx1.615$，$34/21\approx1.619$，$55/34\approx1.618$，...

比值逐渐稳定在某个常数附近。

(3) 该比值趋近于 黄金分割比 $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$。

应用：

艺术与设计：绘画、建筑中的黄金比例构图；

自然界：向日葵种子排列、贝壳螺旋、花瓣数量；

金融：斐波那契回调线用于技术分析；

计算机科学：斐波那契堆、算法分析。

📖 答案：

(1) 潮汐具有周期性，可以用三角函数模型（正弦函数或余弦函数）描述：

$y = A\sin(\omega t + \varphi) + b$ 或 $y = A\cos(\omega t + \varphi) + b$

(2) 由数据可知：

周期 $T = 12$ 小时（每12小时一个周期），$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

振幅 $A = \frac{5.0 - 2.0}{2} = 1.5$

平衡位置 $b = \frac{5.0 + 2.0}{2} = 3.5$

当 $t = 0$ 时，水位最高（5.0），用余弦函数更方便：

$y = 1.5\cos(\frac{\pi}{6}t) + 3.5$

(3) 当天9:00，即 $t = 9$：

$y = 1.5\cos(\frac{\pi}{6} \times 9) + 3.5 = 1.5\cos(\frac{3\pi}{2}) + 3.5 = 1.5 \times 0 + 3.5 = \mathbf{3.5}$（米）

💡 潮汐模型是典型的周期性现象数学探究案例，类似的还有气温变化、生物钟等。

探究方法：记录数据 → 观察周期 → 建立三角函数模型 → 验证预测。