(1) 12 : 4 = 12 ÷ 4 = 3

(2) 2.5 : 0.5 = 2.5 ÷ 0.5 = 5

(3) $\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2} = \textbf{1.5}$

💡 比值就是前项除以后项的商，可以是整数、小数或分数。

(1) 由比例基本性质：$3x = 6 \times 5 = 30$ → $x = \textbf{10}$

(2) 由比例基本性质：$2x = 4 \times 7 = 28$ → $x = \textbf{14}$

(3) 由比例基本性质：$0.5x = 0.3 \times 10 = 3$ → $x = 3 \div 0.5 = \textbf{6}$

💡 比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，即 $ad = bc$。

(1) 周长 = 4 × 边长，比值一定 → 正比例

(2) 长 × 宽 = 面积（一定），积一定 → 反比例

(3) 路程 ÷ 时间 = 速度（一定），比值一定 → 正比例

(4) 每天看的页数 × 天数 = 总页数（一定），积一定 → 反比例

💡 判断关键：比值一定→正比例（$\frac{y}{x}=k$），积一定→反比例（$xy=k$）。

由 $\frac{y}{x} = k$，得 $k = \frac{20}{5} = 4$

当 $y = 36$ 时，$\frac{36}{x} = 4$ → $x = 36 \div 4 = \textbf{9}$

由 $xy = k$，得 $k = 5 \times 20 = 100$

当 $y = 25$ 时，$25x = 100$ → $x = \textbf{4}$

💡 先确定比例系数 $k$，再代入求未知量。正比例和反比例的关键区别在于比值一定还是积一定！

(1) 0.35 = 35%（小数×100% = 百分数）

(2) 0.08 = 8%

(3) $\frac{3}{5} = 0.6 = \textbf{60\%}$

(4) $\frac{7}{20} = 0.35 = \textbf{35\%}$

💡 分数→小数→百分数：先化成小数，再乘以100%即可。

八五折 = 85%

现价：2500 × 85% = 2500 × 0.85 = 2125（元）

便宜：2500 - 2125 = 375（元）

答：现在售价2125元，比原价便宜了375元。

💡 现价 = 原价 × 折扣率，便宜的钱 = 原价 − 现价。

利息 = 本金 × 年利率 × 存期 = 5000 × 2.75% × 2 = 5000 × 0.0275 × 2

一年利息：5000 × 0.0275 = 137.5（元）

两年利息：137.5 × 2 = 275（元）

本息合计：5000 + 275 = 5275（元）

答：到期时她能取回5275元。

💡 利息 = 本金 × 利率 × 存期，注意利率要与存期对应。

设原价为"1"（100%）

提价20%后价格：1 × (1 + 20%) = 1 × 1.2 = 1.2

再打八折（80%）后价格：1.2 × 80% = 1.2 × 0.8 = 0.96

0.96 = 96%，比原价低

答：现价是原价的96%，比原价亏了4%。

⚠️ 提价后再打折，结果反而比原价低！因为两次的基数不同：提价是在原价基础上，打折是在提价后的基础上。

直径 $d = 2r = 2 \times 5 = \textbf{10（cm）}$

周长 $C = 2\pi r = 2 \times 3.14 \times 5 = \textbf{31.4（cm）}$

或 $C = \pi d = 3.14 \times 10 = 31.4$（cm）

答：直径是10cm，周长是31.4cm。

💡 熟记圆的周长公式：$C = 2\pi r = \pi d$。

由 $C = 2\pi r$ 得 $r = C \div (2\pi)$

$r = 62.8 \div (2 \times 3.14) = 62.8 \div 6.28 = \textbf{10（cm）}$

$d = 2r = 2 \times 10 = \textbf{20（cm）}$

答：半径是10cm，直径是20cm。

💡 已知周长求半径：$r = C \div 2\pi$。

从2:00到2:45，分针走了45分钟

分针走一圈（60分钟）的弧长 = 周长 = $2\pi r = 2 \times 3.14 \times 10 = 62.8$（cm）

45分钟对应圆心角：$360^\circ \times \frac{45}{60} = 270^\circ$

弧长 $l = \frac{n\pi r}{180} = \frac{270 \times 3.14 \times 10}{180} = \frac{270}{180} \times 31.4 = 1.5 \times 31.4 = \textbf{47.1（cm）}$

答：分针尖端经过的路程是47.1cm。

💡 分针尖端运动的轨迹是圆弧，注意时间与圆心角的换算关系。

车轮周长：$C = \pi d = 3.14 \times 70 = 219.8$（cm）

每分钟前进距离：$219.8 \times 100 = 21980$（cm）= 219.8（m）

过桥时间：$2198 \div 219.8 = \textbf{10（分钟）}$

答：大约需要10分钟。

⚠️ 注意单位换算！直径70cm = 0.7m，周长 = 3.14 × 0.7 = 2.198m，每分钟走219.8m，时间 = 2198 ÷ 219.8 = 10分钟。

$S = \pi r^2 = 3.14 \times 6^2 = 3.14 \times 36 = \textbf{113.04（cm}^2\textbf{）}$

答：圆的面积是113.04 cm²。

💡 圆的面积公式：$S = \pi r^2$，注意是半径的平方，不是直径的平方。

扇形面积：$S = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{60 \times 3.14 \times 12^2}{360} = \frac{60}{360} \times 3.14 \times 144$

$= \frac{1}{6} \times 452.16 = \textbf{75.36（cm}^2\textbf{）}$

弧长：$l = \frac{n\pi r}{180} = \frac{60 \times 3.14 \times 12}{180} = \frac{60}{180} \times 37.68 = \frac{1}{3} \times 37.68 = \textbf{12.56（cm）}$

答：扇形面积是75.36 cm²，弧长是12.56 cm。

💡 扇形面积注意分母是360，弧长分母是180，不要混淆！

内圆半径 $r = 8$m，外圆半径 $R = 8 + 2 = 10$m

圆环面积：$S = \pi(R^2 - r^2) = 3.14 \times (10^2 - 8^2)$

$= 3.14 \times (100 - 64) = 3.14 \times 36 = \textbf{113.04（m}^2\textbf{）}$

答：这条小路的面积是113.04 m²。

💡 圆环面积 = 大圆面积 − 小圆面积 = $\pi(R^2 - r^2)$。

正方形内最大圆的直径 = 正方形边长 = 10cm，半径 $r = 5$cm

正方形面积：$S_{正} = 10 \times 10 = 100$（cm²）

圆的面积：$S_{圆} = \pi r^2 = 3.14 \times 5^2 = 3.14 \times 25 = 78.5$（cm²）

阴影面积：$S_{阴} = S_{正} - S_{圆} = 100 - 78.5 = \textbf{21.5（cm}^2\textbf{）}$

答：阴影部分的面积是21.5 cm²。

💡 组合图形常用"割补法"或"加减法"：阴影 = 大图形面积 − 小图形面积。

(1) 必然事件（一定会发生）

(2) 随机事件（可能发生也可能不发生）

(3) 不可能事件（骰子最大点数为6，不可能出现7）

(4) 随机事件（可能抽到红桃，也可能抽到其他花色）

💡 确定事件包括必然事件和不可能事件，随机事件介于两者之间。

总球数：$3 + 5 = 8$（个）

(1) $P(\text{红球}) = \frac{3}{8}$

(2) $P(\text{白球}) = \frac{5}{8}$

(3) $P(\text{黄球}) = \frac{0}{8} = \textbf{0}$（没有黄球，不可能事件）

💡 古典概型：$P(A) = \frac{\text{事件A包含的结果数}}{\text{所有等可能结果数}}$，概率范围 $0 \leq P \leq 1$。

所有等可能结果数：$6 \times 6 = 36$（种）

点数和为7的情况：

(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1) 共6种

$P(\text{和为7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

答：两枚骰子点数之和为7的概率是 $\frac{1}{6}$。

💡 枚举所有可能结果时要有序思考，避免遗漏或重复。

第一次摸到黄球的概率：$P_1 = \frac{2}{5}$

放回后总数不变，第二次摸到黄球的概率：$P_2 = \frac{2}{5}$

两次都摸到黄球：$\frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$

答：两次都摸到黄球的概率是 $\frac{4}{25}$。

💡 "放回"意味着每次摸球时袋中的球数不变，各次是独立事件，概率相乘。

(1) 普查（范围小，可逐一测量）

(2) 抽样调查（测试有破坏性，不能逐一测试）

(3) 普查（火箭安全要求极高，必须逐一检查）

(4) 抽样调查（全国范围太大，普查成本过高）

💡 普查结果精确但成本高；抽样调查省时省力但可能有误差。

(1) 折线统计图（反映变化趋势）

(2) 扇形统计图（反映各部分占总体的百分比）

(3) 条形统计图（比较多少、大小）

💡 条形比多少，折线看趋势，扇形看比例——记住这个口诀！

优秀：$\frac{15}{50} \times 100\% = \textbf{30\%}$

良好：$\frac{20}{50} \times 100\% = \textbf{40\%}$

及格：$\frac{10}{50} \times 100\% = \textbf{20\%}$

不及格：$\frac{5}{50} \times 100\% = \textbf{10\%}$

良好等级40%占比最高。

各等级百分比之和：$30\% + 40\% + 20\% + 10\% = 100\%$ ✓

💡 百分比之和为100%，可以用于检验计算结果是否正确。

(1) 优秀和良好共占：$25\% + 40\% = 65\%$

人数：$200 \times 65\% = 200 \times 0.65 = \textbf{130（人）}$

(2) 不及格人数：$200 \times 10\% = 20$（人）

良好人数：$200 \times 40\% = 80$（人）

相差：$80 - 20 = \textbf{60（人）}$

答：优秀和良好共有130人，不及格比良好少60人。

💡 已知总人数和百分比，求部分量用乘法：部分量 = 总量 × 百分比。

(1) 侧面积 = $2\pi rh = 2 \times 3.14 \times 4 \times 10 = \textbf{251.2（cm}^2\textbf{）}$

(2) 底面积 = $\pi r^2 = 3.14 \times 4^2 = 50.24$（cm²）

表面积 = $2\pi r^2 + 2\pi rh = 2 \times 50.24 + 251.2 = 100.48 + 251.2 = \textbf{351.68（cm}^2\textbf{）}$

(3) 体积 = $\pi r^2 h = 3.14 \times 4^2 \times 10 = 50.24 \times 10 = \textbf{502.4（cm}^3\textbf{）}$

💡 圆柱表面积 = 2个底面积 + 侧面积；圆柱体积 = 底面积 × 高。

侧面展开图是正方形，说明高 = 底面周长

底面周长：$C = \pi d = 3.14 \times 10 = 31.4$（cm）

所以高 $h = \textbf{31.4（cm）}$

底面半径：$r = 10 \div 2 = 5$（cm）

体积：$V = \pi r^2 h = 3.14 \times 5^2 \times 31.4 = 3.14 \times 25 \times 31.4$

$= 78.5 \times 31.4 = \textbf{2464.9（cm}^3\textbf{）}$

答：圆柱的高是31.4cm，体积是2464.9 cm³。

💡 侧面展开图是正方形 → 高 = 底面周长，这是圆柱的常见考点。

半径 $r = 40 \div 2 = 20$（cm）

底面积：$\pi r^2 = 3.14 \times 20^2 = 3.14 \times 400 = 1256$（cm²）

侧面积：$2\pi rh = 2 \times 3.14 \times 20 \times 50 = 6280$（cm²）

答：至少需要7536 cm²的铁皮。

⚠️ "无盖"意味着只有1个底面！表面积 = 1个底面积 + 侧面积，不是2个底面积。

原钢材体积：$V = \pi r^2 h = 3.14 \times 5^2 \times 12 = 3.14 \times 25 \times 12 = 942$（cm³）

铸造前后体积不变，设零件高为 $h$

新底面积 $S = 78.5$ cm²，则 $S \times h = 942$

$h = 942 \div 78.5 = \textbf{12（cm）}$

答：零件的高是12cm。

💡 铸造问题中体积不变，利用 $V = S \times h$ 转换，由体积和底面积求高。

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 3^2 \times 8$

$= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 9 \times 8 = \frac{1}{3} \times 226.08 = \textbf{75.36（cm}^3\textbf{）}$

答：圆锥的体积是75.36 cm³。

💡 圆锥体积 = $\frac{1}{3} \times$ 等底等高圆柱的体积，千万别忘记乘以 $\frac{1}{3}$！

半径 $r = 12 \div 2 = 6$（cm），母线 $l = 10$（cm）

侧面积：$S_{侧} = \pi r l = 3.14 \times 6 \times 10 = \textbf{188.4（cm}^2\textbf{）}$

底面积：$\pi r^2 = 3.14 \times 6^2 = 113.04$（cm²）

全面积：$S_{全} = \pi r^2 + \pi r l = 113.04 + 188.4 = \textbf{301.44（cm}^2\textbf{）}$

答：圆锥的侧面积是188.4 cm²，全面积是301.44 cm²。

💡 圆锥侧面积公式：$S_{侧} = \pi r l$（r为底面半径，l为母线长），注意和底面积区分。

底面半径：$C = 2\pi r$ → $r = C \div 2\pi = 18.84 \div (2 \times 3.14) = 18.84 \div 6.28 = 3$（m）

底面积：$\pi r^2 = 3.14 \times 3^2 = 28.26$（m²）

体积：$V = \frac{1}{3} \times 28.26 \times 2 = \frac{1}{3} \times 56.52 = \textbf{18.84}$（m³）

重量：$18.84 \times 1.5 = \textbf{28.26（吨）}$

答：这堆沙重28.26吨。

💡 先由底面周长求半径，再求体积，最后算重量。注意圆锥体积要乘以$\frac{1}{3}$。

等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍

设圆锥体积为 $V$，则圆柱体积为 $3V$

$V + 3V = 48$

$4V = 48$ → $V = 12$（cm³）

圆柱体积：$3 \times 12 = \textbf{36（cm}^3\textbf{）}$

圆锥体积：$\textbf{12（cm}^3\textbf{）}$

验算：$36 + 12 = 48$ ✓，$36 \div 12 = 3$ ✓

💡 等底等高的圆柱与圆锥，体积比为 3 : 1。这是考试的常考知识点！

二元一次方程的条件：含两个未知数，且未知项次数为1

(1) ✓ 二元一次方程

(2) ✗ $x^2$ 次数为2，不是一次

(3) ✓ 二元一次方程

(4) ✗ $xy$ 次数为2（$x$和$y$各一次，相乘为二次），不是一次

(5) ✗ $\frac{1}{x}$ 不是整式

所以答案是：(1)和(3)

💡 判断二元一次方程三要素：两个未知数、次数为1、整式方程。

(1) 代入 $\begin{cases} 7 + 3 = 10 & ✓ \\ 7 - 3 = 4 & ✓ \end{cases}$ → 是方程组的解

(2) 代入 $\begin{cases} 6 + 4 = 10 & ✓ \\ 6 - 4 = 2 \neq 4 & ✗ \end{cases}$ → 不是方程组的解

💡 方程组的解必须同时满足所有方程，缺一不可！

将 $y = 2x - 1$ 代入②：

$3x + 2(2x - 1) = 12$

$3x + 4x - 2 = 12$

$7x = 14$ → $x = \textbf{2}$

把 $x = 2$ 代入 $y = 2x - 1$：

$y = 2 \times 2 - 1 = 3$

所以解为 $\begin{cases} x = \textbf{2} \\ y = \textbf{3} \end{cases}$

验算：$3 \times 2 + 2 \times 3 = 6 + 6 = 12$ ✓

💡 代入法步骤：用一个未知数表示另一个 → 代入另一方程 → 求出一个 → 回代。

① − ② 消去 $x$：

$(2x + 3y) - (2x - y) = 13 - 1$

$4y = 12$ → $y = \textbf{3}$

把 $y = 3$ 代入②：

$2x - 3 = 1$ → $2x = 4$ → $x = \textbf{2}$

所以解为 $\begin{cases} x = \textbf{2} \\ y = \textbf{3} \end{cases}$

验算：$2 \times 2 + 3 \times 3 = 4 + 9 = 13$ ✓，$2 \times 2 - 3 = 1$ ✓

💡 加减法适用于同一未知数系数相等或互为相反数的情况，直接相加或相减消元。

用加减消元法。将①×3：$9x - 6y = 24$

将②×2：$4x + 6y = 28$

两式相加：$(9x - 6y) + (4x + 6y) = 24 + 28$

$13x = 52$ → $x = \textbf{4}$

代入①：$3 \times 4 - 2y = 8$ → $12 - 2y = 8$ → $2y = 4$ → $y = \textbf{2}$

所以解为 $\begin{cases} x = \textbf{4} \\ y = \textbf{2} \end{cases}$

验算：$2 \times 4 + 3 \times 2 = 8 + 6 = 14$ ✓

💡 系数不相等时，通过乘以适当倍数使某个未知数的系数相等或互为相反数，再用加减法。

设篮球每个 $x$ 元，足球每个 $y$ 元

$\begin{cases} 5x + 3y = 350 \\ x - y = 10 \end{cases}$

由②得 $x = y + 10$，代入①：

$5(y + 10) + 3y = 350$

$5y + 50 + 3y = 350$ → $8y = 300$ → $y = 37.5$

$x = 37.5 + 10 = 47.5$

答：篮球每个47.5元，足球每个37.5元。

验算：$5 \times 47.5 + 3 \times 37.5 = 237.5 + 112.5 = 350$ ✓

💡 设两个未知数，找两个等量关系列出方程组，这是列二元一次方程组的核心方法。

设货车速度为 $x$ 千米/小时，客车速度为 $y$ 千米/小时

$\begin{cases} y = 1.4x \\ 3x + 3y = 360 \end{cases}$

将①代入②：$3x + 3 \times 1.4x = 360$

$3x + 4.2x = 360$ → $7.2x = 360$ → $x = 50$

$y = 1.4 \times 50 = 70$

答：货车速度为50千米/小时，客车速度为70千米/小时。

验算：$3 \times 50 + 3 \times 70 = 150 + 210 = 360$ ✓

💡 相遇问题公式：速度和 × 相遇时间 = 总距离。

设生产1件甲产品需要 $x$ kg，1件乙产品需要 $y$ kg

$\begin{cases} 3x + 2y = 22 \\ 2x + 5y = 33 \end{cases}$

①×2：$6x + 4y = 44$

②×3：$6x + 15y = 99$

相减：$(6x + 15y) - (6x + 4y) = 99 - 44$

$11y = 55$ → $y = \textbf{5}$

代入①：$3x + 2 \times 5 = 22$ → $3x = 12$ → $x = \textbf{4}$

答：生产1件甲产品需要4kg材料，1件乙产品需要5kg材料。

验算：$2 \times 4 + 5 \times 5 = 8 + 25 = 33$ ✓

由③ $z = 2x$，由② $y = x - 2$，代入①：

$x + (x - 2) + 2x = 6$

$4x - 2 = 6$ → $4x = 8$ → $x = \textbf{2}$

$y = 2 - 2 = \textbf{0}$

$z = 2 \times 2 = \textbf{4}$

所以解为 $\begin{cases} x = \textbf{2} \\ y = \textbf{0} \\ z = \textbf{4} \end{cases}$

验算：$2 + 0 + 4 = 6$ ✓

💡 三元一次方程组的核心思想是消元：三元 → 二元 → 一元。

方法：三个方程相加

$(x + y) + (y + z) + (z + x) = 5 + 8 + 7$

$2(x + y + z) = 20$ → $x + y + z = 10$

分别减去各方程：

$z = 10 - (x + y) = 10 - 5 = \textbf{5}$

$x = 10 - (y + z) = 10 - 8 = \textbf{2}$

$y = 10 - (z + x) = 10 - 7 = \textbf{3}$

所以解为 $\begin{cases} x = \textbf{2} \\ y = \textbf{3} \\ z = \textbf{5} \end{cases}$

验算：$2 + 3 = 5$ ✓，$3 + 5 = 8$ ✓，$5 + 2 = 7$ ✓

💡 对于对称形式的三元一次方程组，先将所有方程相加求出 $x+y+z$，再分别求解。